Пространстве

1.Рассмотрим в пространстве две аффинные системы координат и . Первую систему назовем "старой", а вторую - "новой". Пусть - произвольная точка пространства, которая в старой системе координат имеет координаты , , , а в новой системе - : и .

Задача преобразования координат состоит в следующем: зная координаты "нового" начала координат и "новых" координатных векторов в "старой " системе:

(1) (2) (3)

(4)

выразить (старые) координаты , , точки через (новые) координаты той же точки .

Так как , (_*)

то воспользовавшись формулами (1), (2), (3), (4) и сравнив одноименные координаты векторов, стоящих в левых частях равенства (_*), получим:

(5)

Формулы (5) определяют искомую зависимость между старыми и новыми координатами точки и называются формулами п реобразования а ффиннойсистемыкоординатв п ространстве.

Заметим, что в этих формулах коэффициенты при являются соответственно координатами новых координатных векторов относительно базиса , и свободные члены - координатами нового начала относительно старой системы координат

Заметим, что в этих формулах матрица С = , составленная из коэффициентов при , есть в точности матрица перехода от базиса к базису .

Так как векторы не компланарны, то определитель матрицы С не равен нулю, det(C) 0. Поэтому система (5) разрешима относительно . Это позволяет выразить координаты точки в новой системе через координаты той же точки в старой системе.

Если в частности, новая система координат отличается от старой лишь началом координат (перенос начала), то формулы (5) принимают вид:

(6)

Если новая система координат отличается от старой лишь координатными векторами (замена координатных векторов), то формула (5) принимают вид:

(7)

2. Рассмотрим теперь преобразование прямоугольных систем координат.В случае перехода от одной прямоугольной системы координат к другой получаем формулы преобразования координат вида (5), так как прямоугольная система координат является частным случаем аффинной. В данном случае на элементы матрицы С накладываются дополнительные ограничения: элементы столбцов матрицы С являются соответственно координатами единичных и взаимно ортогональных векторов в ортонормированном базисе (), поэтому сумма квадратовэлементовкаждогостолбцаматрицы С равнаединице, а суммапроизведенийсоответствующихэлементов любых двухееразличныхстолбцовравнанулю.

По формулам § 2 получаем:

Отсюда, учитывая эти соотношения, замечаем,что векторы в базисе () имеют координаты:

Таким образом, суммаквадратовкаждойстрокиматрицы С равнаединице, а суммапроизведенийсоответствующихэлементовлюбыхдвухееразличныхстрокравнанулю.

Квадратная матрица С, обладающая такими свойствами, называется ортогональной.

Следовательно, матрица С перехода от ортонормированного базиса () к ортонормированномубазису () являетсяортогональной.

Матрица С (обратная матрице С) перехода от базиса () к базису () совпадает с матрицей С , транспонированной к матрице С, и, значит,

det (С ) = det (С ) = det (С).

Так как det (С ) = , то для ортогональной матрицы С имеем:

,

знак плюс имеет место в том случае, когда базисы () и () ориентированы одинаково, и знак минус, когда ориентированы противоположно.

§ 5. Векторное произведение векторов и его свойства