Деление отрезка в данном отношении. Глава 1. Метод координат в пространстве

Глава 1. Метод координат в пространстве.

Векторное и смешанное произведения векторов

Аффинная система координат в пространстве.

Деление отрезка в данном отношении

1. Аффиннымрепером в пространстве называется упорядоченная четверка точек пространства, не лежащих в одной плоскости: = (, ). Следовательно, никакие три из этих точек не лежат на одной прямой.

Аффинный репер называют также общимдекартовымрепером или аффиннойсистемойкоординат или общейдекартовойсистемойкоординат в пространстве, а точку - началомрепера или началомсистемыкоординат.

Направленные отрезки ( = 1,2,3) определяют векторы , образующие базис (, , ) трехмерного векторного пространства . Обратно задание точки и какого-либо базиса (, , ) векторного пространства приводит к заданию аффинного репера = (, )., где - такие три точки, что = . Следовательно, репер можно задать точкой и тремя некомпланарными векторами (к оординатныевекторы); поэтому пишут: .

На оси OAi положительное направление определяется вектором . Оси ()= , ()=(), ()= называются соответственно осями абсцисс, ординат и апликат (оси координат).

Плоскости ()=(), ()=(), ()= =() называются координатнымиплоскостями. На них заданы аффинные реперы: = ( ) на плоскости (), =(, ) на плоскости (), = (, ) на плоскости ().

Пусть - произвольная точка пространства. Вектор (радиус - вектор точки ) можно разложить по вектором базиса ( ) векторного пространства , и это разложение единственно (теорема о разложении вектора по векторам базиса векторного пространства):

= + y + z , ()

Координаты радиус - вектора точки относительно базиса ( ) называются координатамиточки относительно репера = (), - абсцисса, у - ордината, z - апликата (или первая, вторая, третья координаты) точки . Пишут: ().

Итак, () = + y + , ().

Задание аффинного репера пространства устанавливает биективное отображение (взаимно однозначное соответствие) множества точек пространства на множество упорядоченных троек их координат () = - декартов куб множества действительных чисел.

Если точка имеет координаты относительно репера = (, , , ), то = + y + =

+ , где = + y , =

, () // (), если .

Точка называется проекциейточки наплоскость в направлениипрямой .

(, у) относительно репера = ( ) на плоскости ( у).

(,у, 0) относительно репера = (, , , ) в пространстве.

Аналогично, - проекция точки на плоскость () в направлении () и - проекция точки на плоскость () в направлении (), то эти точки имеют координаты:

(y, ) , (0,y, ) , (, ) , (,0,z) ,

Рассмотрим векторные проекции , , вектора

= на оси координат (),(), () параллельно координатным плоскостям (), (),() соответственно. Получим, что = + + .

В силу единственности разложения вектора по трем некомпланарным векторам , , , заключаем, что являются координатами векторов , , по векторам , , соответственно, то есть скалярными проекциями вектора на оси координат.

Ломаную называют координатной ломаной точки . Ее используют при построении точки по заданным координатам: = + + , где

= , = y , = .

Если апликата точки равна нулю, то = x + y

Векторы , , линейно зависимы и поэтому они компланарны. Это означает, что точка лежит в плоскости () и () . Аналогично замечаем, что если , то точка лежит в плоскости (), а если , то в плоскости (). Отсюда следует, что для любой точки оси абцисс , для любой точки оси ординат , а для любой точки оси апликат . Начало координат имеет координаты (0,0,0).

2. Рассмотрим две задачи, которые часто используются в курсе геометрии.

Задача1. В аффинной системе координат =(, , , ) даны точки и . Найти координаты вектора .

Решение. Имеем: = - , так как + = (по правилу треугольникасложениявекторов). Но векторы и являются радиус -векторами точек и , поэтому .Таким образом, вектор имеет координаты: .

Итак, каждая координатавектора равна разности соответствующихкоординатконцаи началавектора.

Задача2. В аффинной системе координат

= (О, , ,) даны точки и Найти координаты точки , которая делит отрезок в отношении , где .

Решение. (, )= = .

Откуда имеем: = .

Тогда x = , у = , z =

В частности, середина отрезка имеет координаты ():

x = , у = , z = .