Прямоугольная декартова система координат в пространстве. Расстояние между двумя точками

1. Аффинный репер называется ортонормированным, если его координатные векторы единичные и попарно ортогональные. Такой репер называют также прямоугольнымдекартовым или прямоугольнойдекартовойсистемойкоординат. Ортонормированный репер с началом в точке О обозначают , то есть

, (_*)

Пусть векторы и относительно ортонормированного базиса векторного пространства имеют координаты:

,

Пользуясь определением и свойствами скалярного произведения векторов и учитывая равенства (_*) будем иметь

(если известны координаты векторов и относительно ортонормированного базиса,то скалярное произведениеравносуммепроизведенийодноименныхкоординатэтих векторов),

,

,

Если - единичный вектор, то

, ,

и, значит = .

Таким образом, координатамиединичноговектора о тносительно ортонормированногобазиса являютсякосинусыуглов, образованныхэтим векторомскоординатным векторами соответственно. Так как = 1, то

= 1.

2. Пусть точки и относительно ортонормированного репера имеют координаты , . Расстояние между точками и найдем как длину вектора .

= – =

=| | .

Расстояниемеждудвумяточками, заданнымсвоимикоординатамивпрямоугольной декартовойсистеме, равнокорнюквадратномуизсуммыквадратовразностей одноименныхкоординатданныхточек.