Обработка результатов. В настоящее время разработаны и широко используются разнообразные программные средства, обеспечивающие не только статистическую обработку результатов

Одним из не менее важных этапов в моделировании является обработка результатов. Исследователь, получив далее первые, начальные результаты экспериментов, зачастую либо начинает улучшать, модернизировать модель, либо стремится продемонстрировать неискушенному заказчику свои достижения. В том и в другом случае происходит элементарная потеря информации. И для того, чтобы трансформировать модель, и для получения более весомых, значимых результатов следует проводить глубокий и тщательный анализ.

В настоящее время разработаны и широко используются разнообразные программные средства, обеспечивающие не только статистическую обработку результатов моделирования и их визуализации. Освоить и применить их на практике не составляет особого труда. Но есть и специальные математически формализованные методики и методы, обеспечивающие решение этой актуальной задачи.

Один из таких статистических методов – дисперсионный анализ – мы рассмотрим ниже [20,45].

Дисперсионный анализ – это статистический метод обработки результатов наблюдений, зависящих от различных, одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и оценки их влияния. Идея дисперсионного анализа принадлежит Р.А. Фишеру. Суть анализа заключается в разложении общей вариации случайной величины на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия.

Факторами обычно называют внешние условия, влияющие на эксперимент. Это, например, температура и атмосферное давление, сила тяготения, тип оборудования и тому подобное. Нас интересуют факторы, действие которых значительно и поддается проверке. В условиях эксперимента факторы могут варьироваться, благодаря чему можно исследовать влияние контролируемого фактора на эксперимент. В этом случае говорят, что фактор варьирует на разных уровнях или имеет несколько уровней. В зависимости от количества факторов, включенных в анализ, различают классификацию по одному признаку – однофакторный анализ, по двум уровням – двухфакторный анализ и многостороннюю классификацию – многофакторный анализ.

Для проведения дисперсионного анализа необходимо соблюдать следующие условия: результаты наблюдений должны быть независимыми случайными величинами, имеющими нормальное распределение и одинаковую дисперсию. Только в этом случае можно оценить значимость полученных оценок дисперсий и математических ожиданий и построить доверительные интервалы.

4.2.5.1. Однофакторный анализ.

На практике возможен случай, когда на автоматической линии несколько станков параллельно выполняют некоторую операцию. Для правильного плани­рования последующей обработки важно знать, насколько однотипны средние размеры деталей, получаемые на параллельно работающих станках. Здесь имеет место лишь один фактор, влияющий на размер деталей, - станки, на которых они изготавливаются. Исследователя интересует насколько существенно влия­ние этого фактора на размеры деталей?

Предположим, что совокупность параметров деталей, изготовленных на каждом станке, имеют нормальное распределение и равные дисперсии. Имеем m станков, следовательно, m совокупностей или уровней, на которых произведено n₁, n₂, …, n_m наблюдений. Для простоты предположим, что n₁ = n₂ =…= n_m. Размеры деталей на i-м уровне обозначим х_i1, x_i2, …, x_in. Тогда все наблюдения можно представить в виде так называемой матрицы наблюдений (таблица 4.16).

Будем считать, что для i-го уровня n наблюдений имеют среднюю β_i, равную сумме общей средней μ и вариации ее, обусловленной i-м уровнем фактора, то есть

β_i = μ + γ_i.

Уровни	Параллельные опыты
		…	n
	y11	y12	…	y1n
	y21	y22	…	y2n
…	…	…	…	…
m	ym1	ym2	…	ymn

Тогда одно наблюдение можно Таблица 4.16.

представить в следующем ви­де:

x_ij = μ + γ_i + ξ_ij = β_i + ξ_ij, (4.38)

где μ - общая средняя;

γ_i - эффект, обусловленный i-м уровня фактора;

ξ_ij ­- вариация результатов внутри отдельного уровня.

Член ξ_ij характеризует влияние всех неучтенных моделью (4.38) факторов. Согласно общей задаче дисперсионного анализа, необходимо оценить существенность влияния фактора γ на размеры деталей. Общую вариацию переменной x_ij можно разложить на части, одна из которых характеризует влияние фактора γ, другая – влияние неучтенных факторов. Для этого необходимо найти оценку общей средней μ и оценки средних по уровням β_i. Очевидно, что оценкой β является средняя арифметическая n наблюдений i-го уровня, то есть

(4.39)

(* - наблюдения фиксированы на i-м уровне).

Оценка средней μ (средняя арифметическая всей совокупности наблю­де­ний) есть

или

Найдем сумму квадратов отклонений x_ij от , то есть

(4.40)

причем

так как последнее слагаемое есть сумма отклонений переменных одной совокупности от средней арифметической этой же совокупности, то есть S=0.

Также

Тогда формулу (4.40) можно представить в виде

(4.41)

Q₁ – сумма квадратов разностей между средними уровней и средней всей совокупности наблюдений. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений между группами и характеризует расхождение между уровнями. Величину Q₁ называют также рассеиванием па факторам, то есть рассеиванием за счет исследуемого фактора. Слагаемое Q₂ является суммой квадратов разностей между отдельными наблюдениями и средней i-го уровня. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений внутри группы и характеризует расхождение между наблюдениями i-го уровня. Величину Q₂ называют также остаточным рассеиванием, то есть рассеиванием за счет неучтенных факторов. Наконец, Q – общая или полная сумма квадратов отклонений отдельных наблюдений от общей средней .

Зная Q, Q₁ и Q₂ можно оценить:

- межгрупповую дисперсию

- внутригрупповую дисперсию

- общую дисперсию

Если влияние всех уровней фактора γ одинаково, то и - оценки общей дисперсии. Тогда для оценки существенности влияния фактора γ достаточно проверить гипотезу Н₀: = ; для этого вычисляют статистику c ν₁=m-1 и ν₂=m(n-1) степенями свободы. Затем находят критическое значение и если , то нулевая гипотеза принимается и делается вывод о не существенности влияния фактора γ.

Сравнивая межгрупповую и остаточную дисперсии, по величине их отно­ше­ния судят, насколько сильно проявляется влияние факторов.

Таблица 4.17. № партии Разрывная нагрузка

Пример 4.26. Пусть имеется четыре партии сырья текстильной промыш­лен­ности. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Результаты испытаний приведены в таблице 4.17. Требуется выяснить, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки.

Решение 4.26. Здесь m=4 и n=5. Среднюю арифметическую каждой строки вычисляем по формуле (4.39):

Среднее арифметическое всех совокупностей:

Находим

Q_м = 4980 и ν₁ = 4 – 1 = 3,

Q_в = 7270 и ν₂=20 – 4 = 16,

Q = 12250 и ν = 20 – 1 = 19.

Проверка: Q = Q₁ + Q₂; 12250 = 4980 + 7270.

По найденным значениям Q, Q₁ и Q₂ можно найти дисперсии:

- межгрупповую дисперсию

- внутригрупповую дисперсию

- общую дисперсию

Вычисляем статистику

Из таблиц F-распределения можно найти при α=0,01 критическое значение = 9,01. Так как то можно утверждать, что нулевая гипотеза не отверга­ется, а это означает, что различие между сырьем в партиях не влияет на величину разрывной нагрузки.

Следует осторожно подходить к истолкованию окончательных результатов, так как они предполагают нормальную плотность и тождественность дисперсий. Каждое из допущений требует проверки, основанной на тщательном анализе проведенных экспериментов.