P & ù q) É r

Установить логическое значение этого суждения можно при помощи таблицы истинности.

Воспользуемся алгоритмом построения таблицы истинности.

(1) Определение числа строк таблицы по формуле x = 2ⁿ, где n – число переменных в формуле.

В примере три переменных – p, q, r. Число строк: x = 2³ = 8.

(2) Занесение формулы в таблицу.

В первые столбцы таблицы записываем все переменные логической формулы, а затем – саму формулу:

P	Q	r	(p	&	ù q)	É	r

(3) Заполнение значений истинности и ложности переменных.

а) Число строк первого столбца делится пополам. Первая половина заполняется значением истинности, вторая – ложности:

p	q	r	(p	&	ù q)	É	r
И
И
И
И
Л
Л
Л
Л

б) Число строк второго столбца делится на четыре части, каждая из которых последовательно заполняется значениями истинности и ложности:

p	q	r	(p	&	ù q)	É	r
И	И
И	И
И	Л
И	Л
Л	И
Л	И
Л	Л
Л	Л

в)Число строк третьего столбца делится на 8 частей, каждая из которых последовательно заполняется значениями истинности и ложности:

p	q	r	(p	&	ù q)	É	r
И	И	И
И	И	Л
И	Л	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	И	Л
Л	Л	И
Л	Л	Л

(4) Определение последовательности выполнения формулы и выполнение первого знака.

В данном примере первой выполняется логическая связка отрицания, второй – конъюнкция, последней – импликация:

p	q	r	(p	&	ù q)	É	r
И	И	И
И	И	Л
И	Л	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	И	Л
Л	Л	И
Л	Л	Л

Заполняем значения первой логической связки – ù q:

p	q	r	(p	&	ù q)	É	r
И	И	И			Л
И	И	Л			Л
И	Л	И			И
И	Л	Л			И
Л	И	И			Л
Л	И	Л			Л
Л	Л	И			И
Л	Л	Л			И

Заполняем значения второй логической связки – (p & ù q), сопоставляя значения истинности и ложности переменной p и полученных ранее значений переменной ù q:

p	q	r	(p	&	ù q)	É	r
И	И	И		Л	Л
И	И	Л		Л	Л
И	Л	И		И	И
И	Л	Л		И	И
Л	И	И		Л	Л
Л	И	Л		Л	Л
Л	Л	И		Л	И
Л	Л	Л		Л	И

Заполняем значения последней логической связки – (p & ù q) É r, сопоставляя значения истинности и ложности переменной r и полученных ранее значений переменной (p & ù q):

p	q	r	(p	&	ù q)	É	r
И	И	И		Л	Л	И
И	И	Л		Л	Л	И
И	Л	И		И	И	И
И	Л	Л		И	И	Л
Л	И	И		Л	Л	И
Л	И	Л		Л	Л	И
Л	Л	И		Л	И	И
Л	Л	Л		Л	И	И

Последняя логическая связка является результирующей для установления логического значения сложного высказывания. Таким образом, данная формула является выполнимой.

После столь громоздкой процедуры (и в этом существенный недостаток табличного метода) вы еще не забыли, какой вопрос мы ставили? Напомню: «В каком случае ребенок оказывается на прогулке?». Ответ прост: когда сделаны уроки и на улице светло. Некоторые из вас скажут, что это и без таблицы ясно. Конечно, это ясно – с учетом накопленного вами жизненного опыта!

В случаях, когда решение не столь очевидно, табличное построение позволяет четко указать логический вид высказывания – тождественно-истинный, нейтральный или тождественно-ложный.

Тождественно-истинная формула (в ее результирующем столбце только значения истинности) является основой логически правильных рассуждений, тождественно-ложные формулы, или противоречия, в логическом мышлении недопустимыми, а истинность нейтральных формул зависит от содержательной интерпретации переменных.

Пример на следующей схеме иллюстрирует построение таблицы истинности для нейтральной формулы.

Мужчины, проявите себя!

Сколько раз вас пилили за кран, который течет на кухне. Так давайте решим эту задачу … логическими средствами! Обозначим кран горячей воды – КГ, кран холодной воды – КХ.

Напишите логическую формулу для переменной «Вода идет из крана» и заполните следующую таблицу, поставив ДА или НЕТ в пустых графах.

Логическая формула: __________________