Теорема 1.Пусть линейно независимая система решений уравнения (10). Тогда общее решение уравнения (10) имеет вид 3 страница

которая равносильна уравнению . В качестве собственного вектора возьмем , которому отвечает вектор-функция

Вектор-функции образуют фундаментальную систему решений однородной системы дифференциальных уравнений, поэтому общее решение этой однородной системы имеет вид

или

Будем искать решение нашей неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде

(29)

Подставляя (29) в (28) приходим к системе уравнений относительно и

Решим эту линейную относительно и систему методом Крамера

Отсюда находим

Интегрированием этих функций найдем и :

Значит, общим решением неоднородной системы является

;

или

б) Как мы видели выше, общее решение соответствующей однородной системы имеет вид

Найдем частное решение неоднородной системы. В нашем случае

Число не является корнем характеристического уравнения

,

поэтому ищем в виде

т.е. .

Имеем

Подставим x(t), y(t) в нашу неоднородную систему, получим систему

Приравняв коэффициенты при соответствующих степенях t, приходим к системе

Таким образом,

и общим решением неоднородной системы является

или

Пример 28. Решить неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решение. Путем исключения одной из неизвестных функций систему можно свести к уравнению второго порядка с одной неизвестной функцией.

Например, путем исключения функции систему сведем к уравнению второго порядка относительно функции .

Найдем из 1-го уравнения системы: . Отсюда имеем . Подставив значения и во второе уравнение системы, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции :

Найдем его общее решение по формуле , где - общее решение однородного уравнения, а -некоторое частное решение неоднородного уравнения.

Характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения имеет корень кратностью 2, следовательно, общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

.

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов.

Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

Поэтому

Найдем и :

Подставив в заданное неоднородное дифференциальное уравнение, приведем подобные члены

Сравнивая коэффициенты при и получим СЛАУ для определения неизвестных

Итак,

Следовательно, общее решение имеет вид

Функцию определим, воспользовавшись соотношением

Таким образом, общее решение данной системы дифференциальных уравнений имеет вид

Задание 12.1

Решите дифференциальные уравнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

Задание 12.2

Решите дифференциальные уравнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17) ;

18)

19) ;

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

Задание 12.3

Решите дифференциальные уравнения.

1) ;

2)

3)

4)

5) ;

6) ;

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19) ;

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

Задание 12.4

Решите дифференциальные уравнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

Задание 12.5

Решите задачу Коши.

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , .

25. , .

26. , .

27. , .

28. , .

29. , .

30. , .

Задание 12.6

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .