Теорема 1.Пусть линейно независимая система решений уравнения (10). Тогда общее решение уравнения (10) имеет вид 1 страница

где произвольные постоянные.

Система линейно независимых решений уравнения (10) называется фундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (10).

В общем случае найти фундаментальную систему решений уравнения (10), а значит и его общее решение, очень сложно; в большинстве случаев эта задача неразрешима. Однако задача заметно облегчается, если являются постоянными величинами.

Для решения ЛОДУ с действительными постоянными коэффициентами

(11)

составляется характеристическое уравнение

(12)

Зная корни уравнения (12), можно составить ФСР уравнения (11).

А. Каждому действительному простому корню ставится в соответствие функция – частное решение уравнения (11).

Б. Каждому действительному корню кратности k ставится в соответствие следующий набор из k частных решений (11):

В. Каждой паре комплексно-сопряженных простых корней уравнения (12) ставится в соответствие следующая пара частных решений уравнения (11):

Г. Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности k ставится в соответствие следующий набор из 2-х частных решений уравнений (11):

;

.

Следуя указанному правилу, строится ФСР уравнения (11) и находится общее решение этого уравнения как линейная комбинация элементов фундаментальной системы решений.

Пример 12. Решить уравнение .

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение простые корни. Значит, функции образуют ФСР дифференциального уравнения. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид где произвольные числа.

Пример 13. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет один двукратный корень Ему соответствует пара функций образующая ФСР дифференциального уравнения. Общим решением ЛОДУ является

Пример 14. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет пару простых попарно-сопряженных корней , .

Им соответствует пара функций образующих ФСР дифференциального уравнения. Общим решением уравнения является

.

Пример 15. Решить уравнение

Решение. Решим характеристическое уравнение

Корнями уравнения являются: – корень кратностью 2; , – простые корни; , – простые корни. Им соответствует следующий набор функций:

Эти функции образуют ФСР ЛОДУ. Общим решением уравнения является

9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка называется уравнение вида

(13)

где – известные функции, y(x) – искомая функция.

Теорема 2. Пусть – ФСР однородного уравнения (10) и пусть – некоторое частное решение уравнения (13). Тогда общее решение уравнения (13) имеет вид

где – произвольные постоянные; другими словами, общим решением уравнения (13) является сумма где – общее решение соответствующего однородного уравнения, а – некоторое частное решение уравнения (13). Пусть теперь в уравнении (13) являются постоянными величинами. Тогда общее решение однородного уравнения находим по правилам, изложенным в п.8. и задача интегрирования уравнения (13) сводится к отысканию некоторого частного решения этого уравнения.

Если в уравнении (13) имеет специальный вид

(14)

или

, (15)

то удается найти частное решение этого уравнения.

А. Пусть имеет вид (14) и число не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Тогда частное решение уравнения (13) ищется в виде

где коэффициенты находятся путем подстановки в уравнение (13).

Б. Пусть имеет вид (14) и число является корнем кратности r характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. В этом случае частное решение ищется в виде

В. Пусть имеет вид (15) и число не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение ищется в виде

где .

Г. Пусть имеет вид (15) и число является корнем кратности r характеристического уравнения. Тогда частное решение

где, как и прежде, .

Отметим теорему, которая бывает полезной при решении ЛНДУ.

Теорема 3. Пусть даны два ЛНДУ

, ,

имеющие частными решениями и соответственно.

Тогда функция является частным решением уравнения

Пример 16. Решить задачу Коши

Решение. Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение имеет два простых вещественных корня поэтому общим решением соответствующего однородного уравнения является

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Так как число не является корнем характеристического уравнения, а правая часть имеет вид (14) при , то решение надо искать по правилу А в виде Имеем

Подставим в исходное дифференциальное уравнение:

откуда находим .

Таким образом, общим решением дифференциального уравнения является

Для нахождения коэффициентов воспользуемся начальными условиями

Составим и решим систему уравнений

Итак, решением задачи Коши является функция

Пример 17. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Общее решение этого уравнения имеет вид где – общее решение соответствующего однородного уравнения

(16)

а – некоторое частное решение нашего неоднородного уравнения. Характеристическое уравнение однородного уравнения (16) имеет вид отсюда находим

Таким образом, Найдем

Правая часть уравнения имеет вид (15) при Так как число не является корнем характеристического уравнения, то решение надо искать по правилу В в виде:

Для определения коэффициентов А и В подставим в исходное неоднородное уравнение. Имеем:

Сократим обе части на и приведем подобные:

Последнее равенство приводит к системе

Таким образом,

и общим решением неоднородного уравнения является

Для нахождения коэффициентов воспользуемся начальными условиями

Составим и решим систему уравнений

Итак, решением задачи Коши является функция

Пример 18. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет простые корни . Общим решением соответствующего однородного уравнения является

Правая часть неоднородного уравнения имеет вид (15) при Число является простым корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение нашего уравнения ищем по правилу Г

Имеем

Подставим в исходное уравнение:

Приравняв соответствующие коэффициенты, получим систему

Таким образом,

и общим решением исходного неоднородного уравнения является

Пример 19. Записать вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (без нахождения коэффициентов):

Решение. a) Характеристическое уравнение имеет один корень кратностью 2. Число совпадает с этим корнем, поэтому частное решение неоднородного уравнения имеет вид

или

б) Характеристическое уравнение имеет два простых комплексных взаимно сопряженных корня: и . Число совпадает с одним из этих корней, поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

в) Характеристическое уравнение имеет два простых корня: Число не является корнем характеристического уравнения, следовательно, частное решение имеет вид

Пример 20. Найти общее решение уравнения

Решение. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

где – общее решение однородного уравнения

а – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.

Начнем с нахождения Характеристическое уравнение имеет корни Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

Так как число есть двукратный корень характеристического уравнения, а правая часть имеет вид (14) при , то решение надо искать по правилу Б в виде Для определения коэффициентов А и В подставим в исходное неоднородное уравнение. Имеем:

Это равенство приводит к системе:

Таким образом,

Общим решением нашего уравнения является

где – произвольные постоянные.

10. Метод вариации постоянных

Если известно общее решение однородного уравнения (10), то общее решение неоднородного уравнения (13) (с теми же коэффициентами ) можно найти, используя метод вариации постоянных. Пусть – ФСР однородного уравнения (10) и – общее решение (10). Общее решение неоднородного уравнения (13) ищется в виде

, (19)

где коэффициенты рассматриваются как неизвестные функции, получающиеся путем вариации постоянных . Подстановка функции (19) в уравнение (13) приводит к следующей системе уравнений относительно :

Решив эту систему и подставив найденные функции в (19), получим общее решение неоднородного уравнения (13).

В частности для уравнения второго порядка система имеет вид

Пример 21. Решить уравнение

Решение. Общим решением однородного уравнения является Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде

В соответствии с общей схемой здесь – функции, удовлетворяющие системе