Теорема 1.Пусть линейно независимая система решений уравнения (10). Тогда общее решение уравнения (10) имеет вид 2 страница

Решим эту систему методом Крамера:

Отсюда находим

,

Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является

или

где – произвольные постоянные.

11. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Пример 22. Найти кривую, проходящую через точку (1;2) и обладающую тем свойством, что площадь треугольника, образованного касательной, осью абсцисс и радиус-вектором, проведенным к точке касания, есть величина постоянная, равная 5.

Решение. Пусть B(x;y) – точка касания, BC – отрезок касательной,

AB– радиус-вектор, BH – высота треугольника ABC, площадь которого равна 5. Если , то и длина основания AC равна . Так как , то . С учетом того, что это уравнение сводится к линейному относительно x(y) дифференциальному уравнению с начальным условием . Решением этого линейного дифференциального уравнения является . Из дополнительного условия следует, что С= –3/4. Таким образом, искомая кривая задается уравнением .

Пример 23. Рыболовецкий бот движется по заливу со скоростью 25 км/ч. Через 1 минуту после остановки двигателя его скорость составила 15 км/ч. Считая, что сопротивление воды пропорционально квадрату скорости лодки, найти скорость лодки через 3 минуты после остановки двигателя.

Решение. Пусть v(t) – скорость лодки в момент времени t. Из второго закона Ньютона и условия задачи следует, что . Отсюда и, следовательно, .

Учитывая начальные условия , находим , а из условия следует, что . Наконец,

.

12. Системы дифференциальных уравнений.
Линейные системы

Система уравнений вида

(20)

где t – независимое переменное, – искомые функции, называется нормальной системой дифференциальных уравнений n-го порядка. Решением этой системы на интервале называется совокупность функций , которые при подстановке их в систему (20) обращают уравнения системы в тождества на .

Как правило, система (20) имеет бесконечное множество решений , ,…, при этом каждая искомая функция зависит от n параметров .

Задача Коши системы (20) ставится следующим образом: требуется найти решение системы (20), удовлетворяющее начальным условиям

(21)

При некоторых ограничениях на функции задача Коши (20) – (21) имеет единственное решение.

Нормальная линейная однородная система n-го порядка имеет вид

(22)

Если обозначить

то системе (22) можно придать компактный вид, записав ее в матричной форме: .

Совокупность из n линейно независимых решений ,

где , называется фундаментальной системой решений (ФСР) системы (22).

Теорема 4. Если – ФСР системы (22), то общее решение системы (22) имеет вид

,

где – произвольные постоянные.

Линейная неоднородная система n-го порядка имеет вид

(23)

или в матричной форме ,

где .

Теорема 5. Пусть – некоторое частное решение системы (23), а – ФСР соответствующей однородной системы (22). Тогда общее решение неоднородной системы (23) имеет вид

,

или, короче, ,

где – общее решение однородной системы (22), соответствующей системе (23).

В общем случае невозможно найти ни ФСР однородной системы (22), ни частное решение неоднородной системы (23). Но задача намного упрощается, если мы имеем дело с системами с постоянными коэффициентами.

13. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами

Если все коэффициенты в (22) являются постоянными величинами, то (22) называют системой с постоянными коэффициентами; матрица является постоянной.

Для нахождения фундаментальной системы решений однородной системы с постоянными коэффициентами решают характеристическое уравнение

. (24)

Набору из n корней (с учетом кратности) уравнения (24) ставят в соответствие определенный набор частных решений , составляющих ФСР системы.

А. Если l – простой корень уравнения (24), то ему ставится в соответствие вектор-функция (частное решение однородной системы)

,

где – собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению l. Напомним (гл.10, п.5), что собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению находится как ненулевое решение однородной СЛАУ

Б. Если – простые попарно сопряженные комплексные корни уравнения (24), то этой паре ставится в соответствие пара функций

, ,

где, как и прежде, – собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению .

В. Если l – корень кратностью r >1, то общее решение системы (22) ищется в виде

,

при этом находят путем подстановки этой функции в систему (22).

Пример 24. Решить задачу Коши

x(0)=3, y(0)=1.

Решение. Матрица системы имеет вид

Найдем собственные числа и собственные вектора матрицы А. Для этого составим однородную СЛАУ, ненулевые решения которой есть собственные вектора матрицы А.

()

Известно, что однородная СЛАУ имеет ненулевые решения, когда её определитель равен нулю.

Решим полученное характеристическое уравнение

– простые корни.

Подставляя теперь по очереди собственные числа матрицы А в СЛАУ () и решая полученное СЛАУ найдем собственные вектора матрицы А.

1) l=2.

В качестве собственного вектора можно взять , следовательно, будет частным решением однородной системы.

2) . Это собственное значение приводит к системе

Вектор является собственным вектором, отвечающим собственному значению . В качестве второго элемента ФСР однородной системы можно взять .

Общее решение однородной системы имеет вид

,

где – произвольные постоянные, иначе говоря, общим решением однородной системы является

Для нахождения коэффициентов воспользуемся начальными условиями:

отсюда находим . Таким образом, решением задачи Коши является

Пример 25. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение. Матрица этой линейной однородной системы с постоянными коэффициентами имеет вид

Найдем собственные значения этой матрицы:

– двукратный корень этого характеристического уравнения.

Общее решение системы уравнений будем искать в виде вектор- функции

,

или

(25)

Тогда

Подставим эти функции x(t), y(t) в исходную систему дифференциальных уравнений; после сокращения на получим следующую систему уравнений:

или

Приравняв выражения в скобках к нулю, придем к системе линейных однородных уравнений с неизвестными .

(26)

Решим эту систему методом Гаусса, расположив неизвестные по порядку :

~ ~

~ ~

Получим, что система (26) равносильна следующей системе из двух уравнений:

Объявим неизвестные и свободными и положим . Тогда решение системы (25) запишем в виде

Подставим эти значения в (25), получим решение исходной системы дифференциальных уравнений в виде

Пример 26. Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений

x(0)=1, y(0)=0.

Решение. Сначала найдем общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений. Матрицей системы является

Найдем собственные числа и собственные вектора матрицы А. Для этого составим однородную СЛАУ, ненулевые решения которой есть собственные вектора матрицы А.

()

Известно, что однородная СЛАУ имеет ненулевые решения, когда её определитель равен нулю.

Решим полученное характеристическое уравнение

; .

Корнями этого уравнения являются Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению :

Ранг матрицы этой системы равен единице, и она равносильна уравнению

.

Положим , тогда . Вектор является собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению . Имеем

Отсюда находим пару вещественных решений системы дифференциальных уравнений, образующих ФСР:

, .

Общее решение нашей системы имеет вид

или

Перейдем к решению задачи Коши. Для нахождения коэффициентов и воспользуемся начальными условиями:

Поэтому решением нашей задачи является система

14. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений

(23)

Здесь – известныe функции, – искомые функции.

Система (23) может быть записана в матричной форме

,

где .

Если – общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений

(22)

соответствующей неоднородной системе (23) (т.е. имеющей те же коэффициенты ), и – некоторое частное решение неоднородной системы (23), то согласно теореме 5 общее решение неоднородной системы (23) имеет вид

(27)

Другими словами, если – ФСР однородной системы (22), а – некоторое частное решение неоднородной системы (23), то общим решением системы (23) будет где –произвольные постоянные.

Если известна фундаментальная система решений однородной системы (22), то общее решение неоднородной системы (23) может быть найдено методом вариации постоянных. Это означает, что общее решение системы (23) ищется в виде

где – неизвестные функции. Подстановка такой вектор-функции X(t) в (23) приводит к системе

Решив эту систему относительно функций , найдем

.

В случае, если в системе (23) функции являются постоянными величинами, а функции имеют вид , где – многочлены степени меньше либо равные k, и – корень кратностью r характеристического уравнения, , то частное решение системы (23) следует искать в виде

,

где k – наибольшая степень многочленов . Если же не является корнем характеристического уравнения, т.е. , то частное решение ищется в виде

.

Если – частное решение системы

– частное решение системы

то вектор-функция является частным решением системы

Аналогичное утверждение справедливо и для большего числа слагаемых.

Пример 27. Решить систему

(28)

а) методом вариации постоянных;

б) методом подбора специального частного решения.

Решение. а) Найдем общее решение однородной системы

Соответствующие однородное СЛАУ и характеристическое уравнение имеют вид:

()

;

Найдем собственные векторы, отвечающие собственным значениям

Подставляя в СЛАУ (), получаем систему алгебраических уравнений

которая равносильна уравнению . В качестве собственного вектора можно взять . Ему соответствует вектор-функция

приводит к системе