Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Полиномов Чебышева



Полиномы Чебышева определяются следующим образом:

где .

Иными словами,

(2.1)

Для вычисления полиномов Чебышева обычно используют рекуррентное соотношение, устанавливающее связь между Tn– 1(x), Tn (x) и Tn+ 1(x):

Свойства полиномов Чебышева (рис.2.2):

Рис 2.2 Графики полиномов Чебышева

1) область определения – отрезок [–1, 1];

2) коэффициент при старшей степени в Tn (x) равен 2 n –1;

3) нули (корни) полиномов Чебышева определяются формулой

; (2.2)

они расположены неравномерно и сгущаются к концам отрезка;

4) координаты экстремумов

,

причем все максимумы равны 1, а минимумы равны –1;

5) из всех возможных полиномов степени n со старшим коэффициентом, равным 1, точная верхняя грань абсолютных значений на отрезке [–1, 1] наименьшая у полинома Tn (x) / 2 n– 1.

Это основное свойство полиномов Чебышева, поэтому их называют полиномами, наименее отклоняющимися от нуля[3].

Действительно, рассмотрим полином (n– 1)-ой степени

,

где Pn (x) – произвольный полином n- ой степени со старшим коэффициентом, равным 1. Допустим, что отклонение Pn (x) от нуля на [–1, 1] меньше, чем у Tn (x) / 2 n– 1. Это означает, что

,

где xk – координаты экстремумов полинома Tn (x):

Tn (xk) = ( 1) k, k= 0, 1 ,..., n.

Следовательно, полином jn –1(x)попеременно будет принимать положительные и отрицательные значения в (n+ 1)-ой точке, то есть он должен иметь по крайней мере n корней, что невозможно (это полином n– 1-ой степени), кроме тривиального случая

.

На этом свойстве основывается экономизация степенных рядов.

Пусть дан отрезок степенного ряда функции

на отрезке [–1, 1]. Как уже отмечалось, ошибка для степенного ряда обычно велика на концах отрезка и мала в середине.

Выразим степени х через полиномы Чебышева:

и превратим отрезок степенного ряда в отрезок ряда по полиномам Чебышева:

Для широкого класса функций разложение по { Tn (x)} сходится много быстрее, чем по любой другой системе полиномов, так как bk убывают быстрее, чем ak.

Пример. Экономизировать отрезок степенного ряда

Подставляя вышеприведенные зависимости и приводя подобные члены, получаем

Отбросим в первом выражении последний член х 5/5. Тогда погрешность приближения e 1 £ 1/5 = 0,2. Отбросим во втором выражении три последних члена. Тогда погрешность e 2 £ 7/48 + 1/32 + 1/80» 0,145+0,032+0,0125» 0,189<0,2.

Таким образом, данную функцию можно представить полиномом 2-ой степени более точно

,

чем отрезком из 5 членов степенного ряда.

Чебышевское разложение снова можно превратить в многочлен по степеням x:

Ряд экономизирован.

Примечание. Ограничение области изменения переменной х отрезком [–1,1] не уменьшает общности. Степенной ряд относительно переменной x, заданной на отрезке a £ x £ b, легко превращается в ряд по переменной t Î[–1, 1] заменой

(2.3)

Конец примечания.

2.5 ДРОБНО–РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Некоторые функции нельзя с достаточной точностью приблизить полиномами. Кроме того, полиномиальное приближение может очень медленно сходиться. В таких случаях используется дробно-рациональное приближение функции – в виде отношения двух многочленов.

Рассмотрим снова разложение функции в ряд Тейлора:

Представим эту функцию в виде отношения двух полиномов:

Равенство единице первого члена полинома в знаменателе не нарушает общности выражения, т.к. любое другое число можно превратить в 1, поделив на него числитель и знаменатель.

Возникает задача – определить коэффициенты bk и сk, считая известными коэффициенты ak. Для этого необходимо n+ 1 +m уравнений и столько же членов ряда Тейлора:

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем:

и так далее.

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, получаем bk и сk.

Пример.

Решая систему, находим:

Следовательно,

то есть это приближение по точности равносильно аппроксимации рядом Тейлора с учетом членов до 4–ого порядка включительно.

Отметим, что для расчета по ряду Тейлора (с использованием схемы Горнера) необходимо 2 n =8 действий (4 умножения и 4 сложения), а для дробно–рационального приближения – 6 действий (3 умножения и деления и 3 сложения и вычитания).

Кстати, можно еще сократить количество вычислений, представив дробно–рациональное выражение в виде цепной дроби:

Здесь процесс вычисления осуществляется за 5 действий.





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 1188 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...