Понятие аппроксимации

Пусть дана функция y=f (x), причем явная связь между y и x или неизвестна, или эта зависимость содержит трудно вычисляемые выражения, так что ее использование в практических расчетах затруднительно.

В таких случаях задают эту связь в виде некоторой таблицы { x_i,y_i }, т.е. дискретному множеству значений аргумента { х_i } ставят в соответствие множество значений функции { у_i } (i =0, 1,..., n). Отметим, что функциональная зависимость может сразу быть задана в виде таблицы, например, результаты эксперимента.

Встает проблема – как определить значения функции для промежуточных значений аргумента. Для этого надо данную функцию f (x) приближенно заменить (приблизить, аппроксимировать [1]) некоторой другой функцией j (х) так, чтобы отклонение j (х) от f (x) в заданной области было наименьшим, а вид и вычисление функции j (х) были более простыми.

Функция f (x) называется аппроксимируемой, а j (х) – аппроксимирующей. Часто в качестве аппроксимирующей функции выбирают многочлен:

j (х) = P_n (x) = а ₀ + а ₁ х+ а ₂ х ² +... + а_n xⁿ .

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек { х_i } (таблица), тогда аппроксимация называется точечной (например, интерполирование). Приближение можно также строить и на непрерывном множестве точек (отрезок [ a, b ]), тогда аппроксимация называется непрерывной или интегральной.

В этой главе мы рассмотрим некоторые способы построения приближенных формул для заданной функции:

1) аппроксимация многочленами Тейлора (рядами);

2) интерполирование;

3) среднеквадратичная аппроксимация;

Все эти приближения реализуются алгебраическими многочленами (полиномами).