Интерполирование функций многих переменных

	y o	y 1	y 2	...
x 0	z 00	z 01	z 02	...
x 1	z 10	z 11	z 12	...
x 2	z 20	z 21	z 22	...
...	...	...	...	...

До сих пор мы рассматривали интерполирование функций одной независимой переменной y=f (x). На практике возникает также необходимость построения интерполяционных формул для функций нескольких переменных. Рассмотрим для простоты функцию двух переменных z=f (x,y), заданную таблично:

Обозначим z_ij=f (x_i,y_j), h ₁ =x_{i+ 1} –x_i, h ₂ =y_{j+ 1} –y_j (то есть узлы – равноотстоящие). Запишем общую формулу интерполяционного многочлена от двух переменных. Очевидно, она должна иметь следующий вид:

Например, интерполяционный многочлен Ньютона 2-ой степени для двух переменных выглядит следующим образом:

Здесь по аналогии с конечными разностями введены частные конечные разности первого порядка:

и второго порядка

Какие существуют сложности при многомерном интерполировании?

1. Возрастает объем необходимой информации, то есть объем таблиц. Поэтому шаги по аргументам приходится брать довольно большими, что предъявляет жесткие требования к способу интерполирования.

2. Если для функции одной переменной степень полинома была взаимно однозначно связана с числом узлов, то для двух переменных полином n -ой степени P_n (x,y) имеет (n+ 1)(n+ 2) / 2 узлов. Если число узлов не соответствует этой формуле, то часть коэффициентов при высших степенях приходится задавать произвольно (например, нули), что, естественно, влияет на точность аппроксимации.

3. Не всякое расположение узлов допустимо. В одномерном случае узлы не должны совпадать. Теперь же, например, при линейной интерполяции полиномом P ₁(x,y) необходимо, чтобы узлы не лежали на одной прямой в плоскости (x,y)[6]. При интерполяции квадратичным полиномом P ₂(x,y) требуется, чтобы узлы не лежали на кривой второго порядка. Такие условия проверять в общем случае довольно сложно, поэтому для хорошей интерполяции строят регулярную сетку. Наиболее удобная – прямоугольная сетка (рис.2.4).

Пусть, например, задана таблица z_i,j=f (x_i,y_j ) и требуется найти f (x,y). Сначала проводим одномерную интерполяцию (лагранжеву или ньютонову) по строкам, то есть для каждого фиксированного j находим L (x,y ₀), L (x,y ₁ ) ,..., L (x,y_m ).

Затем проводим одномерную интерполяцию по столбцам, то есть по значениям L (x,y_j) находим L (x,y).

Рис.2.4 – Интерполирование функции двух переменных.