Случай температурного поля

Если элементарный параллелепипед, предположить подверженным только тепловому воздействию, то его деформация характеризовалась бы следующими ком­понентами:

где а – коэффициент линейного теплового расширения и Т — температура. Будем полагать, что рассматриваемое тем­пературное поле не слишком высокое, чтобы могли изме­ниться упругие характеристики материала (в частности - модуль упругости).

При одновременном наличии компонентов напряжений и теплового эффекта, компоненты деформации, используя (1.20), запишем так:

. (1.45)

Если в первых трех выражениях аТ перевести в левую часть равенств и обозначить

то уравнения (1.45) примут вид, сходный с (1.20) с заменой e_x на , e_y на и e_z на .

В таком случае можно использовать вариант обобщенного закона Гука. Тогда получим:

. (1.46)

где .

Компоненты уравнений теории упругости для решения такой задачи будут складываться из прежних дифференциальных уравнений равновесия (1.2), прежних геометрических уравнений (1.15), прежних условий на границе (1.4) и новых физических уравнений (1.45) или (1.46), составленных для случая тепло-вого эффекта.

Эти уравнения можно переписать в виде:

. (1.47)

Если теперь проделать выкладки, как в разделе 1.13, то взамен (1.42) придем к уравнениям

(1.48)

Сравнивая (1.48) с (1.47), можно заключить, что при вычисле­нии перемещений неравномерность нагрева тела как бы равно­сильна добавлению к реальным объемным силам (X, Y, Z) не­которых фиктивных объемных сил, пропорциональных градиентам температур, т. е. пропорциональных а при вычислении напряжений (1.47) появлению до­полнительных членов, пропорциональных температуре.