Плоская задача в полярных координатах

Если тело имеет форму кругового цилиндра или ограничено радиальными и круговыми сечениями цилиндра, пло­скую задачу проще решать не в прямоугольных, а в полярных коор­динатах.

Выделим у точки М тела произвольной формы, имеющего по­стоянную толщину в направлении оси z, равную единице, и нахо­дящегося под действием взаимно уравновешивающихся нагрузок (рис. 17, а), элемент двумя радиальны-ми и двумя окружными сечениями и составим условия его равновесия. На элемент дей­ствуют радиальные и окружные нормальные напряжения s_r и s_T касательные напряжения t_{q r} и t_rq. Действующие по граням выделенного элемента напряжения, с учетом их приращения вслед­ствие изменения переменных q и r, показаны на рис. 17, б.

а	б
в	г

Рис. 17

Составим уравнения равновесия, приравняв нулю суммы проекций всех сил, действующих на элемент, на биссектрису R угла q и на касательную Т к окружности радиусом

Выполняя перемножение, откидывая величины высшего по­рядка малости, сокращая подобные члены и деля на rdrdq, полу­чаем по этим формулам дифференциальные уравнения равнове­сия в полярных координатах

. (1.32,а)

Учитывая, что r dq = ds находим, что первые два члена в уравнениях (1.32,а) и (1.29) соответствуют друг другу. Последние члены в каждом из уравнений (1.32,а) выражают особенности полярных координат по сравнению с пря­моугольными. Чем ближе элемент к началу координат, тем они больше. Для точки в начале координат при r = 0 уравне­ния (1.32,а) неприменимы.

Закон Гука для плоского напряженного состояния

. (1.33)

Для плоского деформированного состояния модуль упру­гости Е, модуль сдвига G и коэффициент Пуассона m в формулах (1.33) заменяются приведенными величинами Е', G' и m'.

Уравнение совместности в полярных координатах при постоян­ных объемных силах получается из уравнения (1.31,а) путем пере­хода от декартовых координат к полярным. Координаты r и q можно представить в виде функций координат х и у:

.

Поэтому первые частные производные какой-либо функции r и q по х и у

.

Пользуясь выражениями для r и q, вычисляем входящие в последние фор­мулы производные и после подстановки этих производных, получаем

.

Дифференцируя эти выражения, находим вторые производные. Складывая эти производные, получаем для первой скобки уравнения (1.31,а)

.

Для того, чтобы выразить вторую скобку уравнения (1.31, б) в напряжениях s_r и s_q, соответствующих полярным координатам, воспользуемся формулой (1.6). Площадки, по которым действуют нормальные напряжения s_r и s_q, находим, поворачивая оси координат х и у на угол q вокруг оси z, как по­казано на рис. 17, в. Направляющие косинусы для повернутых осей даны в табл. 2.

Таблица 2

Оси	x	y	z
х1	l1 = cosq	m1 = sinq	n1 = 0
у1	l2 = - sinq	m2 = cosq	n2 = 0
z1	l3 = 0	m3 =0	n3 = 1

Подставляя в формулу (1.6) соответствующие значения коси­нусов, получаем для напряжений в полярных координатах (рис. 17, г)

.

Сложение этих формул показывает, что s_r + s_q = s_x + s_y. Тогда уравнение совместности (1.31,б) в полярных координатах принимает вид

. (1.34,а)

Если объемные силы имеют потенциал, все три составляющих напряжения s_r, s_q и t_rq в полярных координатах могут быть выражены через одну функцию j (r,q) напряжений. При отсутствии объемных сил, напряжения вы­ражаются через функцию j следующим образом:

.

При подстановке этих выражений в дифференциальные уравне­ния (1.32,а) последние превращаются в тождества.

Уравнение совместности (1.34,а), выраженное через функцию напряжений, примет вид

. (1.34,б)

В случае осесимметричной плоской задачи при нагрузке, сим­метричной относительно оси z, касательные напряжения по граням элемента отсутствуют и дифференциальные уравнения равновесия (1.32,а) имеют вид

. (1.32,б)

Перемещение в случае осесимметричной плоской задачи проис­ходит только в радиальном направлении (и на рис. 17, а) и не зависит от q. В окружном направлении в этом случае перемещение отсутствует.

Относительная линейная деформация в радиальном направле­нии

. (1.35,а)

Относительная линейная деформация в окружном направлении

. (1.35,б)

Относительный сдвиг .