Решение задач в перемещениях

Из уравнения (1.24) с помощью (1.15) имеем:

(1.40)

где

Дифференцируя (1.40) и внося производные в первое уравнение (1.2), имеем:

. (1.41)

Выражение в первой скобке может быть записано так:

.

Аналогично можно преобразовать и другие два уравнения (1.2), но можно и сразу написать результат, сделав круговую подстановку букв.

Итак, приходим к следующей системе основных уравне­ний метода перемещений теории упругости:

. (1.42)

Эти уравнения носят название уравнений Ляме. Они яв­ляются синтезом статического, геометрического и физического обследований задачи.

Поверхностные условия также можно преобразовать, выразив напряжения через перемещения.

Подставив в первое уравнение (1.4) на место на­пряжений выражения для них в форме (1.40), имеем:

. (1.43)

Уравнения (1.42) совместно с условиями на поверхности (1.43) позволяют перейти к решению задач теории упругости в перемещениях.