Определение непрерывности функции

Мы повторим здесь определение непрерывности функции, данное выше, в главе о пределах.

Определение 3.1 Пусть функция определена на некотором интервале , для которого -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Пусть функция определена на некотором полуинтервале , для которого -- левый конец. Функция называется непрерывной справа в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Пусть, наконец, функция определена на некотором полуинтервале , для которого -- правый конец. Функция называется непрерывной слева в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (теорема 2.1) сразу следует, как уже отмечалось в главе 2, что имеет место следующее предложение.

Предложение 3.1 Функция тогда и только тогда непрерывна в точке , когда она непрерывна в точке справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:

1) функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки;

2) существует предел значений функции слева: ;

3) существует предел значений функции справа: ;

4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке : .

Рис.3.1.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с

Точка , в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности функции ; так же определяются точки непрерывности слева и справа.

Пример 3.1 Пусть и . Тогда и . Эти значения совпадают, значит, функция непрерывна в точке .

(Функция -- элементарная функция; -- точка её области определения . Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта.Так что в этом примере можно было бы заменить любой элементарной функцией, а -- любой внутренней точкой области , и вывод остался бы тем же.)

Пример 3.2 Рассмотрим функцию и точку . При функция задаётся формулой , при этом имеем (первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при : . Итак, , что означает непрервыность функции при .

Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:

Предложение 3.2 Пусть -- база непроколотых окрестностей точки , окончаниями которой служат интервалы , ; -- база непроколотых левых окрестностей точки , окончаниями которой служат полуинтервалы , ; -- база непроколотых правых окрестностей точки , окончаниями которой служат полуинтервалы , . Тогда непрерывность функции в точке эквивалентна тому, что существует предел ; непрерывность слева в точке -- тому, что существует предел ; непрерывность справа в точке -- тому, что существует предел .