![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение1. 7. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.
Обозначение: выбранный элемент определителя,
его минор.
Пример. Для
Определение1. 8. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.
Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:
Теорема 1.1. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
где i=1,2,3.
Доказательство.
Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.
Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:
Тогда
Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.
Пример. Вычислим определитель с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что
при этом искать не требуется, так как
следовательно, и
Найдем
и
Следовательно,
=
Определители более высоких порядков.
Определение1. 9. Определитель n-го порядка
есть сумма n! членов каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств
полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.
Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.
Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.
Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем
и
:
Следовательно,
4.РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД КРАММЕРА.
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера.
Определение 2.1. Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число.
Определение 2.2. Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, т.е. где
числа,
переменные.
Определение 2.3. Линейным уравнением называется уравнение вида
(2.1)
где и b – числа,
- неизвестные.
Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.
Определение 2.4. Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.
Определение 2.5. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида
(2.2)
где ,
- числа,
- неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.
Определение 2.6. Решением линейной системы (2.2) называется набор чисел
которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.
Правило Крамера.
Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:
.
Предположим сначала, что Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения
элементов j-го столбца
Сложив затем все уравнения, получим:
. (2.5)
Отметим, что .
(j-й столбец)
(Результат получен из разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при и равен
при i = j. Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель
, в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель
. Рассматривая j = 1,2 ,…,n, получим систему, эквивалентную исходной:. Разделив все уравнения на
, найдем единственное решение:
.
Предположим теперь, что =0. Тогда система (2.6) примет вид:
.
В этом случае, если все =0, система выглядит так:
и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из
система решений не имеет.
Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:
1) Если
система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам:
.
2) Если =
=0, система имеет бесконечно много решений.
3) Если =0, а хотя бы один из
система не имеет решений.
Примеры:
1. Рассмотрим систему , решенную в предыдущем разделе методом Гаусса, и применим к ней правило Крамера. Найдем все нужные определители:
следовательно, система имеет единственное решение.
Отсюда
5.МЕТОД ГАУССА
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 461 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!