Векторное произведение векторов. Определение 6.2. Вектор с называется векторным произведением векторов аи b, если:

Определение 6.2. Вектор с называется векторным произведением векторов а и b, если:

1) | c | = | a||b | sinφ, где φ – угол между а и b.

2) c a, c b.

3) Тройка векторов abc является правой.

Обозначения векторного произведения: c = [ ab ], c = a b.

Свойства векторного произведения.

1) [ ba ] = - [ ab ].

Доказательство. Вектор - с удовлетворяет первым двум условиям определения векторного произведения и образует с векторами b и а правую тройку векторов.

2) [ ab ] = 0 a ║ b.

Доказательство. Из первого пункта определения 6.2 следует, что модуль векторного произведения ненулевых векторов равен нулю только при sinφ = 0, что соответствует коллинеарности векторов а и b.

3) Модуль векторного произведения |[ ab ]| равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b.

Доказательство следует из первого пункта определения 6.2.

Определение 6.3. Орт е_а произвольного вектора а – это вектор единичной длины, коллинеарный а и одинаково с ним направленный (| е_а | = 1, е_а || a).

Cледствие из свойства 3. [ ab ] = S e, где е – орт вектора [ ab ].

4) [(k a) b ] = k [ ab ].

5) [(a + b ) c ] = [ ac ] + [ bc ].

6) Если в декартовой системе координат a = {X_a, Y_a, Z_a}, b = {X_b, Y_b, Z_b}, то

[ ab ] =

Доказательство.

Представим векторы а и b в виде: a = X_a i + Y_a j +Z_a k, b = X_b i + Y_b j +Z_b k. Отметим, что [ ij ] = k, [ jk ] = i, [ ki ] = j, [ ii ] = [ jj ] = [ kk ] = 0. Тогда с использованием свойств 4 и 5 получим:

[(X_a i + Y_a j + Z_a k)(X_b i + Y_b j + Z_b k)] =(Y_aZ_b – Y_bZ_a) i +(X_bZ_a – X_aZ_b) j + (X_aY_b – X_bY_a) k, что доказывает свойство 6.

Пример. Вычислим векторное произведение векторов а = {3, -4, 2} и b = {1, 5, 1}.

[ ab ] = ={-14, -1, 19}.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. КОМПЛАНАРНОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ ab ] на вектор с.

Обозначение: abc = [ ab ] c.

Свойства смешанного произведения.

1) Смешанное произведение [ ab ] c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,b и с компланарны, то [ ab ] c = 0.

Доказательство.

а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ ab ] ортогонален плоскости векторов а и b, и, следовательно, [ ab ] c. Поэтому [ ab ] c = 0.

в) Если a,b,c не компланарны, [ ab ] c = |[ ab ]|| c | = S·| c |cosφ, где φ – угол между с и [ ab ]. Тогда | c |cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ ab ] c = V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ ab ]. Утверждение доказано.

Следствие. [ ab ] c = a [ bc ].

Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся: abc.

2) Если a = {X_a, Y_a, Z_a}, b = {X_b, Y_b, Z_b}, c = {X_c, Y_c, Z_c}, то

abc = .

Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем: [ ab ] c = (Y_aZ_b – Y_bZ_a) X_c + (X_bZ_a – X_aZ_b) Y_c + (X_aY_b – X_bY_a)Z_c = .

Пример 1. Найдем смешанное произведение векторов a = {-3, 2, -1}, b = {2, 1, 0}, c = {-1, 3, -1}. Для этого вычислим определитель, составленный изихкоодинат:

следовательно, векторы компланарны.

Пример 2. Найдем объем пирамиды с вершинами в точках А(0, -3, -1), В(3, 3, 2),

С(1, 0, -3) и D(2, -1, 1).

Отметим, что объем пирамиды ABCD в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD. Найдем координаты этих векторов:

AB = {3,6,3}, AC = {1,3,-2}, AD = {2,2,2}. Тогда AB AC AD =

Cледовательно, объем пирамиды равен 18:3 =6.

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов

· Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

· Три вектора компланарны если они линейно зависимы.