![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 6.2. Вектор с называется векторным произведением векторов а и b, если:
1) | c | = | a||b | sinφ, где φ – угол между а и b.
2) c a, c
b.
3) Тройка векторов abc является правой.
Обозначения векторного произведения: c = [ ab ], c = a b.
Свойства векторного произведения.
1) [ ba ] = - [ ab ].
Доказательство. Вектор - с удовлетворяет первым двум условиям определения векторного произведения и образует с векторами b и а правую тройку векторов.
2) [ ab ] = 0 a ║ b.
Доказательство. Из первого пункта определения 6.2 следует, что модуль векторного произведения ненулевых векторов равен нулю только при sinφ = 0, что соответствует коллинеарности векторов а и b.
3) Модуль векторного произведения |[ ab ]| равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b.
Доказательство следует из первого пункта определения 6.2.
Определение 6.3. Орт еа произвольного вектора а – это вектор единичной длины, коллинеарный а и одинаково с ним направленный (| еа | = 1, еа || a).
Cледствие из свойства 3. [ ab ] = S e, где е – орт вектора [ ab ].
4) [(k a) b ] = k [ ab ].
5) [(a + b ) c ] = [ ac ] + [ bc ].
6) Если в декартовой системе координат a = {Xa, Ya, Za}, b = {Xb, Yb, Zb}, то
[ ab ] =
Доказательство.
Представим векторы а и b в виде: a = Xa i + Ya j +Za k, b = Xb i + Yb j +Zb k. Отметим, что [ ij ] = k, [ jk ] = i, [ ki ] = j, [ ii ] = [ jj ] = [ kk ] = 0. Тогда с использованием свойств 4 и 5 получим:
[(Xa i + Ya j + Za k)(Xb i + Yb j + Zb k)] =(YaZb – YbZa) i +(XbZa – XaZb) j + (XaYb – XbYa) k, что доказывает свойство 6.
Пример. Вычислим векторное произведение векторов а = {3, -4, 2} и b = {1, 5, 1}.
[ ab ] = ={-14, -1, 19}.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. КОМПЛАНАРНОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ ab ] на вектор с.
Обозначение: abc = [ ab ] c.
Свойства смешанного произведения.
1) Смешанное произведение [ ab ] c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,b и с компланарны, то [ ab ] c = 0.
Доказательство.
а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ ab ] ортогонален плоскости векторов а и b, и, следовательно, [ ab ] c. Поэтому [ ab ] c = 0.
в) Если a,b,c не компланарны, [ ab ] c = |[ ab ]|| c | = S·| c |cosφ, где φ – угол между с и [ ab ]. Тогда | c |cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ ab ] c =
V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ ab ]. Утверждение доказано.
Следствие. [ ab ] c = a [ bc ].
Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся: abc.
2) Если a = {Xa, Ya, Za}, b = {Xb, Yb, Zb}, c = {Xc, Yc, Zc}, то
abc = .
Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем: [ ab ] c = (YaZb – YbZa) Xc + (XbZa – XaZb) Yc + (XaYb – XbYa)Zc = .
Пример 1. Найдем смешанное произведение векторов a = {-3, 2, -1}, b = {2, 1, 0}, c = {-1, 3, -1}. Для этого вычислим определитель, составленный изихкоодинат:
следовательно, векторы компланарны.
Пример 2. Найдем объем пирамиды с вершинами в точках А(0, -3, -1), В(3, 3, 2),
С(1, 0, -3) и D(2, -1, 1).
Отметим, что объем пирамиды ABCD в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD. Найдем координаты этих векторов:
AB = {3,6,3}, AC = {1,3,-2}, AD = {2,2,2}. Тогда AB AC AD =
Cледовательно, объем пирамиды равен 18:3 =6.
Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.
Условия компланарности векторов
· Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
· Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 536 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!