Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Скалярное произведение векторов



Определение 5.14. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ab = | a || b | cosφ. (5.4)

Обозначения скалярного произведения: ab, ( ab ), a·b.

Свойства скалярного произведения:

1. ab = | a | пра b.

Доказательство. По свойству проекции пра b = | b | cos φ, следовательно, ab = | a | пра b.

2. ab = 0 a b. 3. ab = ba.

4. (k a) b = k(ab). 5. (a + b ) c = ac + bc.

6. a 2 = aa = | a |2, где а 2 называется скалярным квадратом вектора а.

7. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2}, (5.5)

то ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.

(5.6)

Доказательство. Используя формулу (5.3), получим:

ab = (X1 i + Y1 j + Z1 k )(X2 i + Y2 j + Z2 k ).

Используя свойства 4 и 5, раскроем скобки в правой части полученного равенства:

ab = X1X2 ii +Y1Y2 jj + Z1Z2 kk + X1Y2 ij +X1Z2 ik + Y1X2 ji + Y1Z2 jk + Z1X2 ki + Z1Y2 kj.

Но ii = jj = kk = 1 по свойству 6, ij = ji = ik = ki = jk = kj = 0 по свойству 2, поэтому

ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.

8. cosφ = . (5.6)

Замечание. Свойства 2, 3, 4 доказываются из определения 5.14, свойства 5, 6 – из свойств проекции, свойство 8 – из свойства 7 и свойств направляющих косинусов.

Пример.

a = {1, -5, 12}, b = {1, 5, 2}. Найдем скалярное произведение векторов а и b:

ab = 1·1 + (-5)·5 + 12·2 = 1 – 25 + 24 = 0. Следовательно, векторы а и b ортогональны.





Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 265 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...