Корень многочлена. Теорема Безу (с доказательством), следствия. Делимость двучлена на двучлен

Число является корнем многочлена если =0.

Теорема Безу.

Теорема Безу. Если - произвольное число, то при делении многочлена на двучлен получается остаток равный значению многочлена от , т.е. = .

Для многочлена и двучлена существует единственное представление = × + .
Найдём значение = × + = ×0+ = . Что и требовалось доказать.

Остаток от деления многочлена на двучлен .

По теореме Безу остаток от деления многочлена = на двучлен равен = .

Теорема о корне.
(Необходимое и достаточное условие того, что число а является корнем многочлена).

Теорема о корне (следствие теоремы Безу). Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на двучлен без остатка.

Для многочлена и двучлена существует единственное представление = × + .

Т.к. является корнем многочлена то =0, но = × + = = ×0+ = . Следовательно, =0 и = × , т.е. делится на .

Обратно, если делится на , то =0 и = × = ×0=0.

Некоторые частные случаи корней многочлена.

Число 0 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда его свободный член равен 0.

Действительно =0

Число 1 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов равна 0.

Действительно =0

Число -1 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов при четных степенях переменной равна сумме коэффициентов при нечетных степенях переменной ( считается коэффициентом при четной степени).

Действительно =0