Понятие многочлена от одной переменной, степень многочлена, нулевой многочлен, равенство многочленов, действия с многочленами

Многочленом (полиномом) n -ой степени от одной переменной x называется выражение, которое можно записать в виде , где a_n, a_n-1, …, a₁ и a₀ – некоторые числа, причём a_n ¹0.
Число n называют степенью многочлена, а данную запись – стандартным (или каноническим) видом многочлена.
Слагаемое называют старшим членом многочлена, а слагаемое – его свободным членом.

Многочлены принято обозначать так: , и т.д., или , , если хотят подчеркнуть, что степень многочлена равна n.

.

Многочлен , где a₀ ¹0, называют многочленом нулевой степени.
Многочлен называют нулевым многочленом.

Два многочлена и называются равными, если у них одинаковые степени и соответствующие коэффициенты равны (т.е. ).

Значением многочлена в точке c (при x = c), называют число .

Действия над многочленами.

1. Суммой многочленов и называется многочлен , где и , а , при этом, если , то , а если , то .

2. Разностью многочленов и называется многочлен , где не превосходит большего из и , а , при этом, если , то , а если , то .

Таким образом, степень суммы (разности) двух многочленов, не может превосходить наибольшую из степеней слагаемых (уменьшаемого и вычитаемого).

3. Произведением многочленов и называется многочлен , получающийся после умножения каждого слагаемого одного многочлена на каждое слагаемое другого многочлена и приведения подобных слагаемых. = × .
Степень произведения ненулевых многочленов равна сумме степеней множителей.

Свойства действий над многочленами.