Вопрос 19. Деление многочлена на двучлен

Деление многочлена на двучлен. Схема Горнера (с выводом), следствия.

Схема Горнера.

(Деление многочлена на двучлен)

Рассмотрим деление многочлена на двучлен .

Разделив с остатком, получим единственное представление: , где - многочлен степени , а остаток R – число.
Пусть .
Тогда, = .

Из двух форм записи многочлена следует равенство коэффициентов, т.е.
, , , … ,
откуда получаем: , , , … ,
Такую цепочку для вычисления коэффициентов многочлена называют СХЕМОЙ ГОРНЕРА и записывают в виде таблицы:

Коэффициенты			…		…
Число с	=		…		…
Коэффициенты							Остаток R

Пример. Найти частное и остаток от деления многочлена на двучлен .

Коэффициенты			-5		-8
		6	13	39	109	329
Коэффициенты

Следовательно, и

Разложение многочлена по степеням двучлена. (Следствие из схемы Горнера)

Для любого многочлена (, ) и любого числа с, можно написать разложение по степеням двучлена :

Выпишем цепочку равенств, которая укажет алгоритм нахождения коэффициентов разложения:

, где ,

, где ,

, где ,

……….

, где ,

Алгоритм нахождения коэффициентов выглядит так:

Разделить с остатком на . Остаток будет свободным членом разложения.

Разделить неполное частное с остатком на . Новый остаток будет коэффициентом при первой степени . И т.д.

Проводить разложение многочлена по степеням двучлена удобно по схеме Горнера

Пример. Разложить многочлен по степеням двучлена

	-5		-8
-2		-11	22	-52	106
	-17	56	-106
	-23	102
	-29

В итоге получаем: