Ограниченность функций, наибольшее и наименьшее значение функций, экстремумы функций

Вопрос 15.

Пусть функция определена на множестве X и Y – область её значений.

Функция будет называться ограниченной сверху, если существует такое число М, что , выполняется условие (другое определение верно, что )

Функция будет называться ограниченной снизу, если существует такое число М, что , выполняется условие (другое определение верно, что ).

Функция будет называться ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существует такое число М, что , выполняется условие (другое определение верно, что )

Если для выполняется условие, что верно , то называется наибольшим значением функции (другое определение верно, что ).

Если для выполняется условие, что верно , то называется наименьшим значением функции (другое определение верно, что ).

Примечание наибольшее и наименьшее значения функция может принимать в нескольких точках, в том числе и в бесконечном количестве точек.

Точка называется точкой экстремума, если существует такое положительное число , что выполняется одно из условии или .

В первом случае точка называется точкой минимума, а во втором – точкой максимума.

Соответственно, экстремумом функции будет называться значение функции в точке экстремума, т.е. . Причем значение в точке минимума будет называться минимумом (локальным минимумом) функции, а значение в точке максимума будет называться максимумом (локальным максимумом) функции.

Таким образом, точки экстремума – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках.

Геометрически – около точек экстремума график функции выгибается, как горб, направленный вверх или вниз (см. рисунок), а сам экстремум – это значение функции в «вершине» этого горба.