В задачах 9.321-9.322 найти общие решения простейших дифференциальных уравнений в частных производных

А),где; б).

А),где; б).

В задачах 9.323-9.328найти общие решения уравнений в частных производных первого порядка.

9.323. 9.324.

9.325. 9.326.

9.327. 9.328.

В задачах 9.329-9.330 найти частные решения уравнений в частных производных первого порядка, удовлетворяющие указанным условиям.

9.329 ; при .

9.330 ; при .

Уравнение вида

=0,

где -неизвестная функция от независимых переменных ; , , , - заданные в области функции своих аргументов, называется квазилинейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка. Его тип определяется знаком выражения . А именно: 1) если в некоторой точке , то уравнение имеет эллиптический тип в этой точке; 2) если , то уравнение имеет гиперболический тип; 3) если , то уравнение имеет параболический тип. Данное уравнение может менять свой тип при переходе из одной точки области в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках плоскости , , параболического типа в точках и гиперболического типа в точках , .

Уравнение называется характеристическим, а его общие интегралы и - характеристиками уравнения в частных производных.

Характеристики используются для приведения квазилинейного уравнения в частных производных второго порядка к каноническому виду.

Для уравнения гиперболического типа () характеристики действительны и различны. Подстановкой и , уравнение приводится к каноническому виду

.

Для уравнения эллиптического типа () характеристики комплексные и комплексно сопряжены (). Подстановкой и , уравнение приводится к каноническому виду .

Для уравнения параболического типа () имеется только одна характеристика . Подстановкой и , где - произвольная функция, независимая с уравнение приводится к каноническому виду .

В задачах 9.331-9.339 определить тип дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и привести их к каноническому виду.

9.331.

9.332.

9.333.

9.334.

9.335.

9.336.

9.337.

9.338.

9.339.

В задачах 9.340-9.345, используя формулу Даламбера

, найти

решение задачи Коши для волнового уравнения на прямой:

; ;

9.340,,.

9.341,,.

9.342,,.

9.343,,.

9.344,,.

9.345,,.

Задачей Штурма-Лиувилля называется задача о нахождении отличных от нуля решений (собственных функций) , , дифференциального уравнения , удовлетворяющих граничным условиям вида , , где - заданные числа, а также о нахождении значений параметра (собственных значений), при которых существуют такие решения.

В задачах 9.346-9.348 найти собственные числа и собственные функции следующих задач Штурма-Лиувилля.

9.346,.

9.347,.

9.348,.

Метод Фурье является одним из наиболее распространённых аналитических методов решения уравнений математической физики и состоит в следующем. Искомая функция , зависящая от нескольких переменных, ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. Например, если , то функция ищется в виде ; если , то - в виде . После подстановки этого произведения в исходное уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, часть из которых вместе с краевыми условиями исходной задачи являются краевыми задачами Штурма-Лиувилля. Искомое решение представляется рядом по произведениям собственных функций этих задач Штурма-Лиувилля.