Первого порядка

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнение вида , где - искомая функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно обычно называется интегралом уравнения. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнение вида , где - заданная функция переменных и , называется ДУ первого порядка, разрешённым относительно производной. Эту форму записи ДУ называют нормальной. Учитывая, что , ДУ первого порядка, разрешённое относительно производной, можно всегда записать в дифференциальной форме: , где и - заданные функции переменных и .

Условие , где , -заданные числа, называется начальным условием. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданному начальному условию , называется задачей Коши.

Общим решением ДУ первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной , такое, из которого при надлежащем выборе значения постоянной можно получить решение , удовлетворяющее заданному начальному условию . Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом уравнения.

Частным решением ДУ первого порядка называется решение , получаемое из общего при конкретном значении постоянной (при этом не исключаются и значения ). Частное решение, заданное в неявном виде , называется частным интегралом уравнения.

Решение ДУ первого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Особое решение не содержится в формуле общего решения ни при каком числовом значении произвольной постоянной, включая . Особое решение всегда можно обнаружить в процессе построения общего решения (общего интеграла) данного ДУ. Это те решения, которые могут быть утеряны при преобразованиях данного уравнения, переводящих это уравнение в его общее решение (общий интеграл).

ДУ вида называется уравнением с разделёнными переменными. Его общий интеграл имеет вид .

ДУ вида или называется уравнением с разделяющимися переменными. Его интегрирование, путём деления обеих частей уравнения на или , сводится (с учётом ) к интегрированию уравнения с разделёнными переменными.

При выполнении деления возможна потеря решений, для которых или . Потерянные решения или содержатся в формуле общего решения при каком-то конкретном значении произвольной постоянной (при этом не исключаются и значения ) или являются особыми решениями.

В задачах 9.1-9.12 найти общие решения следующих ДУ с разделяющимися переменными:

9.1. 9.2.

9.3. 9.4.

9.5. 9.6.

9.7. 9.8. 9.9. 9.10.

9.11.

9.12.

Дифференциальное уравнение вида () приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , где - новая искомая функция.

В задачах 9.13-9.16 найти общие решения уравнений, приводящихся к ДУ с разделяющимися переменными:

9.13. 9.14.

9.15. 9.16.

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка – значит: 1) найти его общее решение или общий интеграл ; 2) найти то частное решение (частный интеграл ) которое удовлетворяет заданному начальному условию .

В задачах 9.17-9.22 найти частные решения ДУ, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.17,.

9.18,.

9.19,.

9.20,.

9.21,.

9.22,.

Дифференциальное уравнение вида или , где и - однородные функции одинаковой степени, называется однородным.

Функция , обладающая свойством при всех , называется однородной функцией степени .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , или , где - новая неизвестная функция. Интегрируя ДУ с разделяющимися переменными относительно функции и возвращаясь к искомой функции , находим общее решение исходного уравнения. Иногда целесообразно вместо подстановки , использовать подстановку , где - новая неизвестная функция.

В задачах 9.23-9.36 найти общие решения следующих однородных дифференциальных уравнений:

9.23. 9.24.

9.25. 9.26.

9.27. 9.28.

9.29. 9.30. 9.31. 9.32.

9.33. 9.34.

9.35. 9.36.

Уравнение вида приводится к однородному уравнению или уравнению с разделяющимися переменными.

Пусть , тогда:

1) если , то подстановкой , где и - новые переменные, и - некоторые числа, определяемые из системы уравнений , исходное уравнение приводится к однородному ДУ относительно новых переменных и ;

2) если , то подстановкой исходное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

В задачах 9. 37-9.40 найти общие решения уравнений:

9.37. 9.38.

9.39.

9.40.

В задачах 9.41-9.46 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.41,.

9.42,.

9.43,. 9.44,.

9.45,.

9.46,.

Уравнение вида называется линейным. Уравнение , в котором правая часть тождественно равна нулю, называется однородным линейным уравнением.

Общее решение неоднородного линейного уравнения находится подстановкой , , где и - неизвестные функции от . Уравнение тогда примет вид . Приравняв нулю выражение в скобках, получим уравнение с разделяющимися переменными , из которого найдём в виде его частного решения , где - какая-нибудь первообразная для . Подставив затем найденное выражение в уравнение , получим уравнение с разделяющимися переменными , из которого найдём в виде его общего решения. В результате найдём и общее решение исходного уравнения в виде .

Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять ролями искомую функцию и независимую переменную. Например, уравнение - нелинейное относительно и , является линейным относительно и : .

В задачах 9.47-9.62 найти общие решения следующих линейных дифференциальных уравнений:

9.47. 9.48.

9.49. 9.50.

9.51. 9.52.

9.53. 9.54.

9.55. 9.56.

9.57. 9.58.

9.59 . 9.60

9.61. 9.62.

В задачах 9.63-9.70 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.63,. 9.64,.

9.65,. 9.66,.

9.67,.

9.68,. 9.69,.

9.70,.

Уравнение вида , где и , называется уравнением Бернулли. Оно приводится к линейному с помощью подстановки . Решение уравнения Бернулли можно также найти непосредственно подстановкой .

В задачах 9.71-9.78 найти общие решения уравнений Бернулли:

9.71. 9.72.

9.73. 9.74.

9.75. 9.76.

9.77. 9.78.

Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е. . Это имеет место, если выполнено тождество .

Общий интеграл уравнения имеет вид , где - произвольная постоянная. Функцию находим, используя равенства и . Сначала, интегрируем первое из равенств по и определяем функцию с точностью до произвольной дифференцируемой функции в виде , где - одна из первообразных для функции . Затем, подставляем это выражение для во второе из равенств и получаем дифференциальное уравнение для определения функции : , интегрируя которое находим в виде его частного решения.

В задачах 9.79-9.86 решить следующие уравнения, предварительно убедившись, что они являются уравнениями в полных дифференциалах:

9.79.

9.80.

9.81. 9.82.

9.83.

9.84.

9.85;.

9.86;.

Уравнения первого порядка , не разрешённые относительно производной, решают следующими методами.

1) Разрешаем уравнение относительно и получаем одно или несколько уравнений вида (), каждое из которых надо решить. Если решение уравнений найдено в виде общих интегралов , то общий интеграл исходного уравнения записываем в виде .

2) Метод введения параметра. Разрешаем уравнение относительно и записываем в виде . Вводим параметр и получаем . Берём полный дифференциал от обеих частей равенства и заменяя через , получаем уравнение вида . Если решение этого уравнения найдено в виде , то учитывая равенство , записываем решение исходного уравнения в параметрическом виде: , . Уравнения вида решают таким же способом.

В задачах 9.87-9.92 разрешить следующие уравнения относительно и найти их общее решение:

9.87 . 9.88 .

9.89. 9.90.

9.91. 9.92.

В задачах 9.93-9.98 найти общие решения следующих уравнений методом введения параметра:

9.93. 9.94.

9.95. 9.96.

9.97. 9.98.

В задачах 9.99-9.120 найти общие решения следующих дифференциальных уравнений первого порядка:

9.99. 9.100.

9.101. 9.102.

9.103. 9.104.

9.105. 9.106.

9.107. 9.108.

9.109. 9.110.

9.111. 9.112.

9.113. 9.114.

9.115. 9.116.

9.117. 9.118.

9.119. 9.120.

Для решения геометрических задач, надо построить чертёж, обозначить искомую кривую через (если задача решается в прямоугольных координатах) и выразить все упоминаемые в задаче величины через , и . В результате получим дифференциальное уравнение, из которого найдём искомую функцию . При решении геометрических задач часто используют геометрический смысл производной как тангенса угла, образованного касательной к кривой с положительным направлением оси .

В физических задачах при составлении дифференциальных уравнений используют физический смысл производной (если независимая переменная – время , то - скорость изменения величины ), а также физические законы, сформулированные в тексте задачи.

В задачах 9.121-9.128 найти решения, предварительно составив дифференциальное уравнение.

9.121 Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.

9.122 Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная .

9.123 Найти атмосферное давление на высоте , если на поверхности Земли давление равно и плотность воздуха (Указание: использовать закон Бойля-Мариотта, согласно которого плотность пропорциональна давлению).

9.124 Тело охладилось за 10 мин от С до С. Температура окружающего воздуха поддерживается равной С. Когда тело остынет до С? (Указание: принять, что скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды).

9.125 На материальную точку массы действует постоянная сила, сообщающая точке ускорение . Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости её движения, коэффициент пропорциональности равен . Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент точка находилась в покое? (Указание: воспользоваться вторым законом Ньютона ).

9.126 Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент точка находилась на расстоянии от начала отсчёта пути и имела скорость . Определить пройденный путь и скорость точки через секунд после начала движения.

9.127 Имеется некоторое количество радиоактивного вещества. Известно, что через дней распадается 50% этого вещества. Через сколько дней останется 1% начального количества вещества? (Указание: из эксперимента известно, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству вещества).

9.128 Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости . Начальная стоимость оборудования равна . Найти стоимость оборудования по истечении лет.

9.129 Численность населения некоторого города удовлетворяет уравнению , где -время (в годах). В начальный момент население города составляло 10 тысяч человек. Через сколько лет население увеличится в 10 раз?

9.130 Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид: и . Найти зависимость равновесной цены от времени , если в начальный момент времени цена ден.ед.