Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальным уравнением в частных производных называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких независимых переменных, сами независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным. Порядок старшей частной производной называется порядком уравнения. Функция, обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения. Процесс нахождения решения называется интегрированием. Интегрируя уравнение с частными производными, находят семейство решений, зависящее от произвольных функций, а не только от произвольных постоянных, как это имеет место в случае обыкновенного дифференциального уравнения. Это семейство решений, зависящее от произвольных функций, называется общим решением уравнения с частными производными.

Уравнение вида

,

где - неизвестная функция от независимых переменных ; , - заданные функции своих аргументов, называется квазилинейным уравнением в частных производных первого порядка. Задачей Коши для этого уравнения называется задача о нахождении среди всех решений этого уравнения такого решения , которое удовлетворяло бы начальному условию , где - заданная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов; - заданное число.

В случае уравнения задача Коши состоит в нахождении решения , удовлетворяющего начальному условию или условию .

Интегрирование уравнения сводится к интегрированию соответствующей ему системы обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме:

.

Если и - независимые интегралы этой системы, то равенство , где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция, является общим решением уравнения в частных производных в неявной форме. Разрешив его относительно , если входит только в один из интегралов или , получим общее решение в явной форме , где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Для нахождения частного решения, подставив начальное условие в интегралы и , получим два уравнения вида , . Исключив из них , получим равенство, связывающее и . Подставив в которое вместо и левые части интегралов и , получим искомое частное решение. Аналогично находится частное решение для начального условия .