Понятие обобщённой электрической машины

Под обобщенной электрической машиной [5] понимается идеализированная машина, имеющая две обмотки на статоре и две - на роторе, которые располагаются в пространстве под 90 электрических градусов. Протекающие процессы рассматривают с помощью временных и пространственных векторов в неподвижной или во вращающейся системе координат.

В настоящее время созданная теория находит широкое применение не только при расчете установившихся режимов и переходных процессов, но и при разработке современных систем автоматического регулирования. Эта теория позволяет достаточно наглядно представлять сущность процессов протекающих во времени и в пространстве.

Для обобщённой электрической машины обычно принимаются следующие допущения:

фазные обмотки симметричны и расположены под 90 электрических градусов,

намагничивающие силы обмоток и магнитные поля распределены синусоидально вдоль окружности воздушного зазора,

ротор симметричен, воздушный зазор равномерен, насыщение магнитной системы отсутствует, потери в стали отсутствуют, вытеснение тока не учитывается.

В дальнейшем, если не будет специальной оговорки, все расчёты будем проводить с учётом этих допущений. Кроме этого будем пользоваться следующими обозначениями переменных:

малыми буквами будем обозначать мгновенные значения переменных, большими – действующие и амплитудные значения переменных. Временные векторы будем обозначать буквами с точкой наверху, а пространственные – с чертой наверху. Параметрам статора присваивается индекс 1, ротора – индекс 2.

1.5. Системы координат и координатные преобразования

Известны следующие системы координат:

() – 3-х фазная неподвижная система координат. Эта система координат располагается на плоскости поперечного сечения машины. Её оси совпадают с геометрическими осями отдельных фаз и между ними образуются углы по 120 электрических градусов.

() – ортогональная система координат, неподвижная относительно статора.

() – ортогональная система координат, вращающаяся относительно статора с произвольной скоростью .

() - ортогональная система координат, вращающаяся относительно статора с синхронной скоростью .

(d,q) - ортогональная система координат, неподвижная относительно ротора.

В вопросах перехода от одной системы координат к другой предложен строгий математический подход [5]. Рассмотрим лишь некоторые особенности этого перехода и его физическую сущность.

На рис.1.6. изображены оси неподвижных систем координат и . Ось совместим с осью .

Полагаем, что плоскость, на которой изображён рисунок, совпадает с плоскостью поперечного сечения машины, а центр систем координат находится на оси вала двигателя.

В качестве переменной выберем ток статора. В системе координат изобразим вектор тока под углом относительно геометрической оси фазы . Будем считать, что модуль изображающего вектора равен амплитуде тока в фазе двигателя, и он вращается в положительном направлении с угловой скоростью . Положительным считается направление против часовой стрелки.

Если спроектировать вектор на оси системы координат , то получим мгновенные токи в фазах двигателя:

(1.14)

Эти токи представляют собой скалярные величины, их сумма в каждый момент времени равна нулю

. (1.15)

Обратите внимание на расположение осей (рис.1.6). При таком расположении осей вектор совпадает с осью позже, чем с осью . Поэтому ток в фазе отстаёт от тока в фазе на 120 электрических градусов.

Если процесс от действия мгновенных токов рассматривать в пространственной области, то токи в фазах можно рассматривать уже в виде пространственных векторов , которые направлены вдоль геометрических осей статора. Сумма токов уже не равна нулю, а представляет собой суммарный вектор тока . Этот вектор часто называют результирующим. Он совпадает по направлению с изображающим вектором , и его модуль в полтора раза выше.

. (1.16)

Выполнив эти же действия с вектором в системе координат , получим:

(1.17)

. (1.18)

Из сравнения (1.16) и (1.18) следует, что при рассмотрении одной и той же переменной в разных системах координат появляются отличия (наличие коэффициента 3/2).

При решении многих задач возникает потребность в переходе от одной системы координат к другой. В настоящее время сформулированы определённые правила преобразования координат [5]. Переход от 3-х фазной системы координат к 2-х фазной и обратно выполняется с помощью формул преобразования координат. Переменные в новой системе координат находятся как сумма проекций в старой системе на оси новой системы координат с учётом соответствующего масштабного коэффициента, который рассчитывается из условия инвариантности мощности в процессе преобразований.

Так, переход от 3-х фазной системы координат к 2-х фазной системе координат описывается равенствами:

(1.19)

Обратный переход выполняется с помощью формул:

(1.20)

Появление масштабного коэффициента объясняется тем, что в процессе преобразований участвуют как скалярные, так и векторные величины. В (1.16) временным векторам присваивается направление осей координат , они становятся пространственными векторами . и появляется масштабный коэффициент 3/2, а в (1.19) масштабный коэффициент 2/3. При обратном переходе эти коэффициенты становятся равными единице. Напомним, что временной вектор выступает в качестве символа периодической функции времени, а пространственный вектор имеет другую физическую сущность, он характеризует направление вектора в пространстве.

Перейдём к рассмотрению переменных в ортогональных системах координат (рис.1.7)

Здесь рассматривается пространственный вектор тока в системах координат и . Модуль вектора равен амплитудному значению переменной. В этом случае все масштабные коэффициенты при переходе от одной системы координат к другой системе координат становятся равными единице, а временные и пространственные векторные диаграммы для принятой системы координат полностью совпадают. Это обстоятельство существенно упрощает расчёты.

Вектор можно рассматривать как в декартовой, так и в полярной системе координат. Во вращающейся системе координат процессы описываются уравнениями:

(1.21)

(1.22)

Связь между переменными в системах координат и характеризуется уравнениями:

(1.23)

(1.24)

При совместном решении (1.19) и (1.24) путём исключения переменных и , устанавливается связь между переменными в системах координат и :

(1.25)

При совместном решении уравнений (1.21) и (1.25) находятся обратные преобразования от вращающейся системы координат к неподвижной системе координат .

(1.26)

Система координат u,v вращается с произвольной скоростью . Она используется главным образом в качестве связующего звена между системами координат и . Если воспользоваться математическим описанием процессов в этой системе координат, то, принимая , получим описание процессов в системе . Приняв , переходим к системе .

Вращающаяся система координат d, q удобна при описании процессов для синхронных машин и широко используется в иностранной технической литературе. Эта система координат вращается со скоростью вращения ротора.

При выполнении расчётов удобно иметь набор моделей координатных преобразователей (табл. 1.1). В таблице указаны номера формул, по которым составлены модели.

С помощью координатных преобразователей удаётся одну и ту же переменную представлять в разных системах координат.

У асинхронного двигателя процессы протекают в 3-х фазной неподвижной системе координат. Организовать процесс управления и наглядно представить его сущность проще во вращающейся системе координат x,y.

При векторном управлении приходится регулировать амплитуду, фазу и частоту выходной переменной преобразователя частоты ПЧ. В качестве выходной переменной ПЧ может быть вектор напряжения или вектор тока. Среднее значение этого вектора регулируют амплитудным методом или методом широтно-импульсной модуляции (ШИМ). Процессы становятся сложными. На начальной стадии их изучения важно представить их сущность и постараться организовать процесс управления с желаемым качеством статических и динамических и характеристик простыми средствами.

Табл.1.1. Модели координатных преобразователей

Схема модели и вид преобразований	Номер формулы преобразований
	(1.19)
	(1.20)
	(1.19), (1.23)
	(1.25)

	(1.26)
	(1.24)
	(1.23)
	(1.21)
	(1.22)

ПРИМЕР 1.1. В качестве примера на рис.1.8. приводится модель с набором рассмотренных координатных преобразователей.

В этой модели блок А представляет собой 3-х фазный генератор синусоидальных колебаний, на выходе которого можно задать нужную амплитуду, начальную фазу и частоту выходной переменной. Проходя последовательно через модели координатных преобразователей, одна и та же переменная представляется в разных системах координат. Раскройте внутренне содержание моделей координатных преобразователей и убедитесь, что они составлены по ранее приведенным формулам. Запустите модель и просмотрите поведение переменных в разных системах координат.

Продолжим рассмотрение примеров векторного управления с использованием координатных преобразователей.

ПРИМЕР 1.2. В качестве исходных данных предлагается модель (рис.1.9).

Модель содержит трёхфазный задающий генератор синусоидальных колебаний (блок А), у которого с помощью элементов внешних воздействий можно регулировать амплитуду (Um), фазу (угол alfa) и угловую частоту (Wc) выходной переменной. Выходную переменную будем рассматривать в виде вектора.

Для того чтобы наблюдать процессы в разных системах координат в модели предусмотрены координатные преобразователи и .

С помощью внешних воздействий годограф изображающего вектора в неподвижной системе координат изменяется в соответствии с кривой на рис.1.10а. Во временной области переменные меняются в соответствии с кривыми на рис.1.10б,в.

Запустите предложенную модель и постарайтесь понять сущность протекающих процессов.

На исходный годограф накладываем координатные оси неподвижной системы координат . Движение начинается из исходной точки 1 вдоль окружности с заданным модулем вектора, допустим тока . По известному угловому пути перемещения и скорости определяется время перемещения из точки 1 в точку 2. В точке 2 уменьшается модуль вектора в два раза, происходит перемещение в точку 3. В точке 3 изменяется направление угловой скорости перемещения. На участке 3,4 происходит движение в обратном направлении.

Предложите свой алгоритм управления и поясните полученное решение.

ПРИМЕР 1.3. Предлагается провести расчёт и анализ процессов для модели Mod1c (рис.1.11).

Здесь предполагается, что главными регулируемыми переменными является ток статора и синхронная скорость , они формируются элементами внешних воздействий. Таких элементов три (Izx, Izy, Wc)., С помощью первых двух элементов формируются заданные токи статора в системе координат х, у. С помощью третьего элемента формируется . В канале регулирования находится модель задатчика интенсивности ZI. При соответствующем задании внешних воздействий удаётся получить процессы представленные на рис. 1.12 и рис. 1.13.

Приведенную модель (рис.1.11) можно рассматривать в качестве имитатора желаемых переходных процессов для замкнутой системе, в которой не учитываются электромагнитные и механическая инерционности.

На отрезке времени 0< t <0,1c двигатель возбуждается постоянным током, ток протекает по всем трём фазам двигателя.

В момент времени уменьшается Izx.

В момент времени подаётся сигнал и ток Izy. Появляется электромагнитный момент, магнитное поле приходит во вращение. Разгон происходит плавно, ускорение формируется задатчиком интенсивности ZI. В момент времени процесс разгона закончен.

На отрезке времени 0,25с < t <0,3c двигатель работает в режиме идеального холостого хода, ток мал, это ток возбуждения машины или ток , ток .

В момент времени подаётся команда на реверс. Скорость начинает уменьшаться, в момент времени процесс реверсирования заканчивается.

При > 0,5с двигатель работает в режиме идеального холостого хода и вращается в обратном направлении.

Годографы вектора тока (рис.1.13) отражают положение вектора тока в пространстве состояний.