Рекурсивный

Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.

Примеры:

1. факториал;
2. числа Фибоначчи;
3. функция Аккермана.

№21. Функция у = sin х.

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

Анализ функции sin х: 1. Область определения функции— множество Rвсех действительных чисел. 2. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная. 3. Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат. 4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π: sin(x+2 π· k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. 5. sin x =0 при x = π·k, k ∈ Z. 6. sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z. 7. sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z. 8. Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: 9. 10. Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: 11. 12. Наибольшее значение функции sin x = 1в точках: 13. 14. Наименьшее значение функции sin x = −1в точках: 15.

Синусом угла α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством

Формулы, относящиеся к функции sin x:

1. Формула суммы или разности двух углов:

2. Формула двойного угла:

3. Формула половинного угла:

4. Произведение функций двух углов:

5. Степени:

6. Сумма:

7. Интеграл и производная:

№22. Функция cos x.

Косинусом угла α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Анализ функции cos x:

1. Область определения функции— множество R всех действительных чисел.

2. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная.

3. Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно оси OY.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π:

cos(x+2 π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.

5. cos x = 0при
6. cos x > 0 для всех
7. cos x < 0для всех
8. Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
9. Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
10. Наибольшее значение функции sin x = 1в точках:
11. Наименьшее значение функции sin x = −1в точках:

Формулы, относящиеся к функции cos x:

1.

2. Формула сложения:

3. Формула двойного угла:

4. Формула половинного угла:

5. Произведение функций двух углов:

6. Степенная функция:

7. Суммы:

8. Производная и интеграл:

История названий:

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современные краткие обозначения sin и cos введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.

№23. Первый замечательный предел.

Формула первого предела:

Следствия:

; ; ;

Основные свойства пределов