Товщина ЛПШ у критичній точці

;

5.2. Знайти напругу тертя на поверхні крила за умовами задачі 5.1.

Розв’язання:

Напругу тертя на відстані х = 0,1 м можна отримати за формулою (5.16):

З урахування того, що відома товщина примежового шару в точці х = 0,35 м, напругу тертя можна отримати за формулою (5.24) за умови, що n = 7.

5.3. Знайти напругу тертя на поверхні циліндра, який обтікається повітрям зі швидкістю при наявності повністю турбулентного примежового шару.

Розв’язання:

На межі примежового шару швидкість дорівнює Для розрахунку напруги тертя використаємо рівняння (5.8):

,

де .

Беручи до уваги, що і використовуючи рівняння (5.35), отримаємо:

.

Якщо число Рейнольдса представити таким чином

,

то отримане рівняння буде мати вигляд:

(5.46)

де

Отримане рівняння має розв’язання

(5.47)

де , коли .

Можна встановити n таким чином.

Представимо напругу тертя поліномом

(5.48)

де

Використовуючи межові умови

,

де отримується з рівняння (5.6), рівняння (5.48) матиме вигляд:

(5.49)

де

Координата ох береться вздовж дуги циліндра.

Підставимо у формулу (5.49) значення напруги тертя з формули (5.17):

(5.50)

де

Інтегруючи це рівняння в межах від до 1, будемо мати профіль швидкості при наявності градієнта тиску:

(5.51)

Якщо підставити профіль швидкості у формулу для визначення товщини виштовхування, то будемо мати:

Прирівнюючи це значення товщині виштовхування розрахованого з використанням степеневого закону профілю швидкості

,

отримаємо значення:

Оскільки , а то

Видно, якщо , то .

Значення n можна встановити і на основі експериментальних даних [32].

Експериментально встановлено, що

при і

при ,

де .

при

при

Але , тоді

Рис. 5.37. Розподіл вздовж вісі ох товщини примежового шару, напруги тертя і швидкості на верхній межі примежового шару біля циліндра з подовженням при швидкості набігаючого потоку

На рис. 5.37 вісь ох знаходиться на лінії, яка з’єднує критичну точку з центром циліндра. Початок координат в критичній точці. При ох має місце перехід ламінарного примежового шару в турбулентний. Цей перехід супроводжується значним зростанням товщини примежового шару та напруги тертя. При ох напруга тертя стає рівною нулю і відбувається відрив примежового шару.

5.4. Знайти напругу тертя на поверхні тривимірного тіла при наявності просторового примежового шару.

У роботі [33] виведені інтегральні співвідношення з рівнянь руху у випадку просторового примежового шару в ортогональній криволінійній системі координат q₁, q ₂, q ₃ рис. 5.38.

Рис. 5.38. Ортогональна криволінійна система координат

Координати беруться таким чином, щоб поверхня обтічного рідиною тіла визначалась умовою q ₂ = 0, де q ₂– відстань точки від поверхні, вимірювана по нормалі. На самій поверхні беруть ортогональну сітку координатних ліній q ₁ і q ₃.

У цій системі координат елемент довжини визначається так:

,

де ,

і = 1, 2, 3 – коефіцієнти Ляме.

Оскільки координата q ₂ визначає відстань точки до поверхні, тоді Н ₂ = 1. Якщо позначити Н_іо, Н_{і d} – коефіцієнти Ляме відповідно на тілі і на верхній межі примежового шару, а товщину виштовхування і товщину втрати кількості руху замість d_о і d_оо записати у вигляді d^*, d^**та зробити припущення, що Н_{і о} = Н_{і d}, Н ₁ = Н_{i o}, тоді інтегральні співвідношення можна представити в такому вигляді:

(5.52)

(5.53)

де – геодезична кривизна лінії q ₃ = const;

– геодезична кривизна лінії q ₁ = const;

– товщина втрати кількості руху вздовж осі q ₁;

– товщина втрати кількості руху вздовж осі q ₃;

– товщина виштовхування вздовж осі q ₁;

– товщина виштовхування вздовж осі q ₃;

V ₀ – швидкість вдуву чи відсмоктування.

Якщо взяти до уваги, що має місце подібність профілів швидкості і густина в примежовому шарі, тоді

і скористатись степеневим профілем швидкості (5.21), то тоді товщини втрати кількості руху і виштовхування можна представити у вигляді

,

де

.

Оскільки поперек примежового шару тиск не змінюється, то з рівняння стану рідини виходить

.

Температуру стінки Т _стможна визначити, розв’язуючи рівняння (5.41). Напруги тертя t₁₀ і t₃₀ визначаються по формулі (5.35). Розв’язуючи рівняння (5.32) або рівняння (5.53), можливо визначити товщину примежового шару d, а далі і всі характеристики примежового шару.

Таким чином, замість розв’язання двох рівнянь (5.32) і (5.53), треба розв’язувати одне рівняння у вигляді

, (5.54)

де а ₁, а ₂, а ₃, в – функції від величин r_d, V _1d, , які беруться з розв’язання рівнянь, моделюючих зовнішню потенційну течію.

Для розв’язання рівняння (5.54) можна використати різницевий метод. Нехай D q ₃ є приріст змінної q ₃. На множині координатних ліній на відстані похідні можна представити з використанням ряду Тейлора таким чином:

,

,

З точністю до

.

Підставимо у рівняння (5.54) й отримаємо звичайне диференціальне рівняння вигляду:

(5.55)

Рівняння розв’язується методом Рунге-Кутта. Оскільки з початку d₁ і d _{i +1} невідомі, то розв’язання проводиться ітераційним методом. На першій ітерації n = 1 рівняння розв’язується за умови, що d _I = d _{i+ 1} = 0, . На другій ітерації n = 2d _і і d _{i +1} визначаються за результатами першої ітерації.