Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Вычислим дисперсию коэффициента а1 .
Для оценки параметра α1 имеем:
a1 = α1 +∑(ωi εi).
Дисперсию коэффициента а1 относительно параметра α1 можно вычислить по формуле
где ; М(εiεj)=0, при i≠j, .
Окончательно получим дисперсию коэффициента a1
.
Вычислим дисперсию коэффициента а0.
Для оценки параметра α0 имеем:
;
Дисперсию коэффициента а0 относительно своего параметра α0 вычислим по следующей формуле
где
Для получения преобразования
было использовано следующее соотношение:
Окончательно получим дисперсию коэффициента а0:
Дисперсии коэффициентов а0 и а1 содержат дисперсию случайной составляющей σε2, которую необходимо оценить с помощью выборочных данных.
Оценка дисперсии случайной составляющей σε2
Правдоподобной выглядит попытка оценить дисперсию возмущающей составляющей σε2 путем возведения в квадрат и последующего усреднения отклонений наблюдаемых значений от линии, полученной методом наименьших квадратов.
По выборочным данным определим зависимость У от X с помощью уравнения регрессии
. (3.1)
Коэффициенты а0 и а1 определим методом наименьших квадратов, при этом справедливо соотношение (см. первое уравнение нормальных систем уравнений)
. (3.2)
Вычтем из (3.1) уравнение (3.2), получим уравнение регрессии, с преобразованными переменными
,
. (3.3)
Известно, что зависимость У от X для данных всей генеральной совокупности определяется по уравнению регрессии
.
Применим это уравнение к выборочным данным и получим равенство
. (3.4)
Применим его к выборочным данным, усредним по всем n значениям нашей выборки и получим выражение
. (3.5)
При этом среднее значение , так как параметры α0, α1 вычислялись по данным генеральной совокупности, а не по выборочным данным.
Из уравнения (3.4) вычтем уравнение (3.5), получим выражение
.
Подставим его в уравнение (3.3) и получим выражение
.
Возведем в квадрат еi и просуммируем по всем n значениям выборочной совокупности.
.
Возьмем математическое ожидание для левой и правой части этого уравнения.
Правая часть уравнения состоит из трех составляющих, математические ожидания которых вычислим по отдельности, а затем соберем их вместе.
Определим математическое ожидание первой составляющей дисперсии остатков выборочной совокупности:
.
Так как .
Определим математическое ожидание второй составляющей дисперсии остатков выборочной совокупности:
Полученные преобразования выполнялись по следующим шагам:
Шаг 1. Необходимо разложить выражение на составляющие части.
.
Докажем справедливость этого разложения на привычных данных
Вывод завершен.
Шаг 2. Возьмем математическое ожидание от полученного разложения
.
Используя свойство математического ожидания М(Х+У) = М(Х)+М(У) продолжим преобразования
.
В полученном выражении имеется две составляющие: и , которые преобразуем по отдельности.
Шаг 3. Преобразование
.
Так как согласно предпосылкам метода наименьших квадратов.
Шаг 4. Преобразование .
Так как и , согласно предпосылкам метода наименьших квадратов.
Шаг 5. Соединим вместе преобразования , и получим конечный результат
Определим математическое ожидание третьей составляющей дисперсии остатков выборочной совокупности:
Преобразования выполнялись по следующим шагам.
Шаг 1. Определим значение (a1 – α1)
Так как
то , подставим найденное выражение в исходную формулу и продолжим преобразования.
Шаг 2.
В полученном выражении , так как согласно свойствам среднего значения. Упростим выражение и перейдем к шагу 3.
Шаг 3.
Возведем в квадрат повторяющийся множитель и перейдем к шагу 4.
Шаг 4.
Шаг 5. Возьмем математические ожидания для числителя и знаменателя.
В знаменателе имеется выражение , которое состоит из фиксированных значений, поэтому его математическое ожидание равно этому же значению.
.
В числителе имеется случайное возмущение εi , поэтому математическое ожидание найти будет гораздо сложнее.
Так как и , согласно предпосылкам метода наименьших квадратов.
Шаг 6. Подставим математическое ожидание в исходное выражение и получим
Соберем вместе все составляющие математического ожидания дисперсии остатков выборочной совокупности.
.
Если мы определим дисперсию случайного возмущения с помощью формулы
, то S2 будет несмещенной оценкой истинного значения σε2 .
Проверка эффективности.
Далее установим, что оценки, полученные методом наименьших квадратов, являются эффективными и представляют собой наилучшие линейные несмещенные оценки, т. е. что в классе всех линейных несмещенных операторов оценивания оценки наименьших квадратов обладают наименьшей дисперсией.
Шаг 1. Постановка задачи. Известно, что коэффициент a1, определенный по методу наименьших квадратов, вычисляется по формуле
,
где .
Введем произвольную линейную оценку параметра α1 как
,
где ci = ωi + di;
di — произвольные константы.
Необходимо:
• для корректности выводов потребовать от нового коэффициента ан1, чтобы он был несмещенной оценкой параметра α1;
• найти дисперсии коэффициентов ан1 и а1;
• сравнить дисперсии коэффициентов ан1 и а1;
• проверить вывод: если дисперсия коэффициента ан1 будет больше дисперсии коэффициента а1 то коэффициент а1 будет эффективным, т. е. в классе всех линейных несмещенных операторов оценивания оценки наименьших квадратов обладают наименьшей дисперсией.
Шаг 2. Выполнение условий несмещенности коэффициента ан1.
Для того, чтобы ан1 была несмещенной оценкой параметра α1 константы di должны удовлетворять некоторым свойствам.
Подставим в выражение для ан1
,
вместо Уi выражение
и произведем несложные преобразования
где , так как ∑ αi = 0.
Для того, чтобы коэффициент ан1 был несмещенной оценкой параметра α1 необходимо, чтобы математическое ожидание ан1 равнялось параметру α1. Следовательно, должно выполняться равенство
где ci и εi не связаны между собой.
Поэтому
.
Так как M(εi) = 0 согласно предпосылкам метода наименьших квадратов, то
.
Полученное выражение
будет справедливым при всех а0, а1 только в том случае, если выполняются условия
∑ci = 0, ∑ci Xi =1.
Учитывая следующие свойства весовых коэффициентов ci и ωi :
ci = ωi + di;
;
;
∑ci = ∑ωi + ∑di;
получим ограничения на значения di
∑di = 0, так как только при ∑di = 0 будет соблюдаться условие ∑ci = 0,
где ∑ci = ∑ωi + ∑di = 0 + ∑di =0;
, так как только при будет выполняться условие
,
где , при соблюдении условия .
Вывод. Коэффициент ан1 будет несмещенной оценкой параметра б1, если константы di будут обладать следующими свойствами
,
.
Шаг 2. Определим ошибку коэффициента ан1.
Определим коэффициент ан1
,
где , — согласно условий несмещенности коэффициента ан1.
Вывод. Ошибка коэффициента ан1 равна
.
Шаг 3. Определим математическое ожидание дисперсии коэффициента ан1. Дисперсия произвольной линейной несмещенной оценки ан1будет равна
.
В полученном выражении
,
где
так как по условиям несмещенности ан1 должны выполняться условия:
,
.
Продолжим получение дисперсии ан1 с учетом полученных ограничений на
.
так как .
Окончательно получаем .
Вывод. Дисперсия коэффициента ан1 равна дисперсии коэффициента а1 плюс случайная составляющая, равная .
Шаг 4. Анализ дисперсии ан1.
В полученном выражении дисперсии ан1
будет обязательно положительной и превратится в нуль, если все di будут равны нулю. Следовательно, дисперсия коэффициента ан1 будет больше или равна дисперсии коэффициента а1.
Вывод. Оценки наименьших квадратов обладают наименьшей дисперсией в классе всех линейно несмещенных оценок. Аналогичный результат получается при рассмотрении Var(a0).
Проверка состоятельности.
Докажем состоятельность оценок параметров модели, определенных методом наименьших квадратов.
Выпишем дисперсии коэффициентов а0 и а1.
,
,
Преобразуем полученные выражения таким образом, чтобы они содержали в знаменателе объем выборки, а все остальные переменные при увеличении выборки стремились к постоянной величине.
,
где — среднее значение квадратов переменной X;
— среднее значений квадратов отклонений .
При увеличении выборки такие переменные, как σε2, , будут стремиться к своему конечному математическому ожиданию, а так как объем выборки n стоит в знаменателе, то с его увеличением дисперсия коэффициента а0 будет стремиться к нулю и тем ближе выборочный коэффициент а0 будет находиться около своего математического ожидания а0.
Следовательно, условия состоятельности для коэффициента а0 выполняются.
Произведем аналогичные преобразования для дисперсии коэффициента а1
,
где — среднее значений квадратов отклонений .
При увеличении объема выборки n такие переменные, как σε2, будут стремиться к своему конечному математическому ожиданию, а так как объем выборки n стоит в знаменателе, то с его увеличением дисперсия коэффициента а1 будет стремиться к нулю и тем ближе выборочный коэффициент а1 будет находиться около своего математического ожидания α1.
Следовательно, условия состоятельности для коэффициента а1 выполняются.
Общий вывод. Если соблюдаются предпосылки метода наименьших квадратов, то коэффициенты а0 а1 , вычисленные с помощью этого метода, будут несмещенными, состоятельными и эффективными.
Примечание. Мы намеренно приводим подробный вывод всех формул по двум причинам: первая – научить студентов проводить доказательства; вторая – при выводе формул необходимо учитывать много нюансов, которые в учебной литературе не всегда расшифровываются. При первом чтении можно ограничиться только выводами, но постепенно надо изучать обоснованность всех формул. В последних публикациях по эконометрике приводятся более компактные выводы [23].
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 626 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!