Идентификация модели

После определения вида модели необходимо оценить параметры этой модели.

Этап 5. Идентификация модели. Статистический анализ модели и оценка параметров регрессионной модели.

Рассмотрим простейшую модель экономического процес­са, состоящую из одного уравнения, которое содержит только две переменные. Обозначив переменные буквами У и X, мы постулируем между ними зависимость

У = f(X) + ε.

Содержательные соображения, на основе которых было принято введенное соотношение, должны подсказать и его конкретную функциональную форму или указать на дополни­тельные условия, которым должна обладать кривизна функ­ции. Поскольку одним и тем же условиям могут удовлетворять различные функции, то необходимо обратиться к статисти­ческому анализу и осуществить выбор среди возможных аль­тернативных вариантов. Простейшим соотношением между двумя переменными является линейная связь между ними:

,

где α₀, α₁ — неизвестные параметры,

ε — случайное возмущение, которое отражает влияние тех факторов, которые не вошли в модель, случайности че­ловеческих реакций, ошибок наблюдений или измерений.

Спецификация взаимосвязи между переменными долж­на сопровождаться рядом гипотез о свойствах распределе­ния вероятностей для случайного возмущения. Этими гипо­тезами являются следующие утверждения:

• средние значения возмущений для каждого фиксиро­ванного значения X равны нулю;

• дисперсии возмущений являются постоянными и не зависящими от X;

• различные значения е не зависят друг от друга и не зависят от X.

Если гипотеза о линейной зависимости справедлива и если предположения относительно характера случайного возму­щения удовлетворяются, то возникшая при этом ситуация может быть представлена на рис. 3.7.

Рис.3.7. График зависимости У от Х:

Р(ε) – плотность распределения случайного возмущения

Если бы нам удалось собрать все пары значений Х_i У_i, относящиеся к генеральной совокупности экономического процесса, то можно построить диаграмму рассеивания, изоб­раженную на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Диаграмма рассеивания У и X для генеральной совокупности

Если значения У и X отражают деятельность предприя­тия за определенный интервал времени, а количество пред­приятий, составляющих генеральную совокупность, являет­ся очень большим, то мы не сможем собрать данные по всей генеральной совокупности, следовательно нам не известны значения α₀ и α₁ .

Если значения У и X отражают деятельность одного пред­приятия за несколько интервалов времени, то мы можем располагать только одной реализацией экономического про­цесса предприятия. Повторить экономический процесс в про­шлые интервалы времени мы не в состоянии, так как время движется только вперед. Если величины α₀ и α₁ отражают зависимость для всех возможных значений У, но на протя­жении нескольких интервалов времени реализуется только их небольшая часть, следовательно, нам не известны значе­ния α₀ и α₁ .

На практике линия α₀+α₁Х отсутствует, ее следует определить, используя следующие гипотезы.

Оценки параметров модели, определенные методом наи­меньших квадратов, будут обладать свойствами: несмещен­ности, состоятельности, эффективности, если выполняются следующие предпосылки:

а) М(ε_i)= 0 — при всех i,

б)

.

где M — математическое ожидание,

ε_i — возмущения модели,

— дисперсия возмущений, не зависящая от i.

Эта предпосылка означает, что автокорреляция возму­щений отсутствует, дисперсии возмущений гомоскедастичны (однородны).

с) Факторы не должны быть связанными между собой, или между объясняемыми переменными отсутствует мультиколлинеарность.

д) Возмущения должны иметь совместное нормальное распределение.

е) У — случайная переменная, не должна содержать ошибочных измерений.

ж) X — детерминированная или случайная переменная.

з) Объем выборки n должен быть больше числа коэффи­циентов в модели.

и) Значения объясняемых переменных не должны зави­сеть от возмущений модели.

Параметры α₀, α₁ и неизвестны. Мы хотим на основа­нии наших выборочных наблюдений над У и X не только ста­тистически оценить эти параметры, но и проверить по отно­шению к ним некоторые гипотезы. Служит ли линейная зави­симость адекватным отражением эмпирических данных? Оп­равдана ли в свете этой выборки гипотеза о постоянстве дис­персии возмущающей составляющей при всех значениях X?

Известно несколько методов оценки параметров модели. Сравнительный анализ этих методов см. в книге [6, с. 33-34). Широкое распространение оценки параметров модели полу­чил метод наименьших квадратов.

Оценка параметров модели методом наименьших квад­ратов. Методу наименьших квадратов, предложенному Гаус­сом для воспроизведения траектории движения планет, бо­лее 200 лет. В дальнейшем этот метод стал использоваться для биологических объектов, экономических и социальных систем. Метод наименьших квадратов продолжает активно использоваться в эконометрических исследованиях благода­ря тому, что в его основе лежит предположение о нормаль­ном законе распределения анализируемых случайных вели­чин. Многие переменные биологических объектов и экономи­ческих систем имеют нормальный закон распределения. Этот метод имеет хорошее теоретическое обоснование и практи­ческую апробацию для различных объектов. Основные поло­жения метода наименьших квадратов рассмотрим на конк­ретном примере.

Пример

Имеются численные значения двух показателей: коли­чество продавцов и розничного товарооборота по четырем выборочным однородным филиалам одной фирмы.

Таблица 3.2