Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
№ | X | У |
? |
где № — номер филиала фирмы;
X — количество продавцов (чел.);
У — величина розничного товарооборота (тыс. руб.).
Необходимо оценить параметры α0, α1 линейной модели
с помощью вычисления коэффициентов a0 и a1 парной линейной регрессии по выборочным данным У и X:
.
Решение. Необходимо определить такие значения коэффициентов a0 и a1, при которых сумма квадратов остатков регрессионной модели
будут минимальными.
Представим уравнение в развернутом виде:
4 = 1а0 + 1а1 + е1;
6 = 1а0 + 3а1 + е2;
7 = 1а0 + 2а1 + е3;
10 = 1а0 + 4а1 + е4.
Представим полученную систему уравнений в матричном виде:
У= ХА + е,
где У = , X = , A = , e = .
Метод наименьших квадратов заключается в том, что он позволяет определить такие значения коэффициентов а0 и а1, при которых сумма квадратов остатков будет минимальной:
е'е min, где е= У - ХА.
е'е= (У - ХА)'(У - ХА)= (У' - А'Х')(У - ХА) = У'У - А'Х'У - У'ХА + А'Х'ХА =
= У'У - 2А'Х'У + А'Х'ХА (3.1)
Так как У'ХА величина скалярная, то она не меняется при транспонировании, т. е.
У'ХА = (У'ХА)' = А'Х'У.
Примечание. Свойства операций транспонирования.
А, В, С — матрицы;
(А)' = А;
(А+В)' = А' + В';
(АВ)' = В'А';
(ABC)' = С'B'А'.
Возьмем первую частную производную от е'е по переменной А, приравняем ее к нулю и определим оценки параметров модели, при которых е'е будет иметь наименьшее значение.
.
Примечание. Для вектора частных производных справедливы следующие формулы:
где В, С — вектор-столбцы, D — симметрическая матрица.
Доказательство см. [5, с. 84].
Полагая, что А и Х'У векторы-столбцы, найдем
.
Полагая, что Х'Х — симметрическая матрица, А — вектор-столбец, найдем
.
После несложных преобразований можно получить несколько выражений.
Х'ХА = Х'У — система нормальных уравнений, представленная в матричном виде.
А = (Х'Х)-1Х'У — расчетная формула коэффициентов линейной модели или оценка параметров модели для генеральной совокупности. Данная формула позволяет рассчитывать коэффициенты многофакторной линейной модели для любого количества факторов.
(Х'Х)-1 — обратная матрица, полученная от матрицы Х'Х, является матрицей ошибок оценок параметров модели.
X' — транспонированная матрица, полученная от матрицы X.
Расчетную формулу коэффициентов модели следует запомнить, так как она будет применяться на протяжении всего курса эконометрики.
Можно расчетные формулы коэффициентов уравнения регрессии представить в развернутом виде.
Необходимо оценить параметры α0, α1 линейной модели
, с помощью вычисления коэффициентов а0 и а1 парной линейной регрессии:
, при условии, что ∑ei2 → min,
где
Возьмем от выражения ∑ei2 первую производную по а0, затем по а1, приравняем их к нулю и получим систему нормальных уравнений:
После несложных преобразований получаем систему нормальных уравнений в развернутом виде:
Систему нормальных уравнений в развернутом виде можно получить другим способом, если выполнить матричные операции системы нормальных уравнений, записанных в матричном виде:
Х'ХА= Х'У.
Решим систему нормальных уравнений, представленной в развернутом виде:
Из первого уравнения определим а0
.
Найденное значение а0 подставим во второе уравнение и произведем преобразования:
.
Так как
.
Представим формулы расчета коэффициентов а1 а0 в развернутом виде:
,
,
где , — средние значения переменных X и У.
Знак коэффициента а1 зависит от числителя . Если величины Xi и Уi изменяются синхронно и в одной фазе, то числитель будет иметь большое положительное значение. Если Xi и Уi будут изменяться синхронно и в противофазе, то числитель будет иметь большое отрицательное значение. Если Xi и Уi будут изменяться случайным образом, то числитель будет равен нулю и а1 = 0, а переменные X и У не будут иметь линейной связи.
Примечание. Большинство учебных пособий по регрессионному анализу предлагают проводить расчеты коэффициента a1 по формуле
,
позволяющей проще выполнять расчеты на калькуляторе. Если числа X и У имеют много разрядов и объем выборки достаточно большой, то числитель и знаменатель могут иметь большие ошибки округлений, так как значения числителя и знаменателя являются разностью между накопленными суммами и если эти суммы превышают разрядность ЭВМ, то ошибки округления будут неизбежны. Много лет назад при выполнении расчетов парного коэффициента корреляции по аналогичной упрощенной формуле на ЭВМ "Проминь2", у нас один раз получился коэффициент корреляции больше 1, именно из-за ошибки округления больших накопленных сумм. С тех пор нигде и никогда не пользуюсь этими упрощенными формулами.
Идентифицируемость модели. Идентифицируемость модели — возможность вычисления коэффициентов регрессионной модели методом наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов применим к линейной аддитивной функции:
Известны некоторые регрессионные модели, коэффициенты которых непосредственно нельзя вычислить методом наименьших квадратов, но их можно привести к линейному аддитивному виду, как правило, логарифмированием переменных. Но есть такие модели, которые нельзя привести к аддитивному виду и для них используются приближенные итерактивные методы вычисления коэффициентов модели.
Например, в степенной функции коэффициент a1 является степенью фактора X, следовательно, она не является линейной относительно коэффициентов. Степенная функция приводится к линейному виду (с помощью процесса линеаризации) путем логарифмирования левой и правой частей уравнения.
В эконометрике понятие идентифицируемости модели распространяется на возможность вычисления коэффициентов структурной системы одновременных уравнений по коэффициентам приведенной системы одновременных уравнений. Для этого случая вводятся понятия строгой идентифицируемости, недостаточной идентифицируемости и сверхидентифицируемости, которые будут изучаться позже.
Коэффициенты регрессионной модели нельзя вычислить методом наименьших квадратов, если факторы тесно связаны между собой.
Расчет коэффициентов модели теряет смысл, если объем выборки равен или меньше количества коэффициентов в модели.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 274 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!