Объясните различия между линейным и нелинейным уравнениями колебаний математического маятника

Математический маятник представляет собой идеальную модель, в которой материальная точка массой m подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длиной L. В такой системе происходят периодические колебания, которые можно рассматривать как вращение маятника вокруг оси O (рисунок 1).

Рис.1		Рис.2

Динамика вращательного движения описывается дифференциальным уравнением

где ε − угловое ускорение, M − момент силы, вызывающий вращение, I − момент инерции тела относительно оси вращения.

В нашем случае момент силы определяется проекцией силы тяжести на тангенциальное направление, т.е.

Знак минус означает, что при положительном угле поворота α (против часовой стрелки) момент сил вызывает вращение в противоположном направлении.

Момент инерции маятника выражается формулой

Тогда уравнение динамики принимает вид:

В случае малых колебаний полагают sin α ≈ α. В результате возникает линейное дифференциальное уравнение

где − круговая частота колебаний.

Период малых колебаний маятника описывается известной формулой

Однако при увеличении амплитуды колебаний линейная формула перестает быть справедливой. В этом случае для корректного описания колебательной системы нужно решать исходное нелинейное дифференциальное уравнение.

3.Опишите классический пример автоколебательной системы – генератор Ван-дер-Поля

Осциллятор Ван дер Поля — осциллятор с нелинейным затуханием.

Система Ван-дер-Поля – является «эталонной» моделью теории колебаний и нелинейной динамики, описывающую автоколебания и простейший вариант бифуркации Андронова-Хопфа. При наличии внешнего гармонического воздействия.

Схемы генераторов Ван-дер-Поля: а — с контуром в цепи анода; б - с контуром в цепи сетки; в — характеристика лампы, аппроксимированная кубическим полиномом

Вынужденные колебания.

Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля как с потерями энергии, так и без иных рассчитываются по формуле

где

A — амплитуда внешнего гармонического сигнала,

w — его угловая частота.

x - координата точки зависящая от времени

µ - некий коэффициент, характеризующий нелинейность и силу затухания колебаний

У осциллятора Ван дер Поля существуют два режима: при µ = 0 и при µ>0. Очевидно, что третьего режима µ<0 — не существует, так как трение в системе не может быть отрицательным.

1) Когда µ = 0, то есть осциллятор рассчитывается без затухания

Это уравнение гармонического осциллятора.

2) При µ>0 система имеет некие предельные циклы. Чем дальше µ от нуля, тем хаотичнее ведёт себя система.