Правило получения уравнений Колмогорова-Чепмена непосредственно по виду графа состояний системы (на примере для системы, состоящей из двух элементов)

1. Для каждого из возможных состояний системы записываются уравнения, в левой части которого dPi/dt, а справа –только слагаемые, сколько стрелок графа соприкасается с данным состоянием.

2. Если стрелка направлена в данное состояние, то перед слагаемым ставиться +,если стрелка направлена из данного состояния- -.

3. Каждое из слагаемых будет равно произведению интенсивности перехода из данного состояния (либо в данное) на вероятности состояния, из которого выходит стрелка.

4-5. Решение уравнений Колмогорова-Чепмена для нестационарного и стационарного марковского процесса. Правило получения вероятностей состояний непосредственно по графу состояний. Вычисление стационарного коэффициента готовности и коэффициента простоя.

Для схемы, изображенной на рис.

а) число состояний – три. Состояние S_{0 ­}– два элемента, входящие в систему, работоспособны; состояние S₁ – один из элементов, входящих в систему, в неработоспособном состоянии; S₂ – оба элемента, входящие в систему, находятся в отказовом состоянии.

S0

S1

S2

а) б) 2l l

m 2m

Получить систему дифференциальных уравнений можно непосредственно по виду графа переходов по следующему правилу.

1. Для каждого из возможных состояний системы записывается уравнение, в левой части которого - а справа – столько слагаемых, сколько стрелок графа соприкасается с данным состоянием.

2. Если стрелка направлена в данное состояние, то перед слагаемым ставится плюс, если стрелка направлена из данного состояния – минус.

3. Каждое из слагаемых будет равно произведению интенсивности перехода из данного состояния (либо в данное состояние) на вероятности состояния, из которого выходит стрелка.

4. Вероятность нулевого состояния определяется выражением

5. Вероятность каждого из состояний определяется выражением:

.

Руководствуясь этим правилом, получим систему уравнения для нашего примера:

(7.2)

Решение уравнений можно получить, использовуя преобразование Лапласа. Основные соотношения преобразования приведены в табл.7.1.

Но с учетом того, что интенсивности переходов и постоянны и

равны соответственно: , а рассматриваемый марковский процесс – процесс стационарный, решение системы уравнений можно существенно упростить, приняв производные равными нулю:

(7.3)

Четвертое уравнения системы (при трех неизвестных) становится необходимым потому, что первые три уравнения сводятся к двум. Решение этой системы будет иметь вид

, ,

.

Теперь нетрудно вычислить стационарные коэффициенты готовности и простоя системы. Коэффициент готовности представляет собой сумму вероятностей работоспособных состояний системы, в нашем примере

, .

6. Логико-вероятностные методы расчета надежности резервированных систем: логические основы расчета надежности.

Расчет надежности сложной системы по существу является определением истины сложного высказывания.

Сложное высказывание состоит из простых высказываний, соединенных между собой логическими операциями.

Каждая из логических операций устанавливает вполне определенную связь между истинностью сложного высказывания и истинностью простого высказывания.

Ex.

а – находится в работоспособном состоянии

b - находится в работоспособном состоянии

а и b простые высказывания

S₁ – работоспособна, если а и b работоспособны ()

S₂ – работоспособна, если .

При расчете надежности используют правила преобразования сложных высказываний:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

9)

С помощью этих преобразований сложные высказывания можно привести к min безповторимой форме.

Таким образом, чтобы получить формулу для вероятности работоспособного состояния сложной системы, необходимо

1) сформулировать условие работоспособности системы;

2) на основании формулировки записать логическую функцию работоспособности F_л;

3) преобразовать в случае необходимости логическую функцию работоспособности (минимизировать и исключить повторяющиеся члены);

4) в логической функции работоспособности заменить логические операции арифметическими;

5) в полученной таким образом арифметической функции работоспособности заменить простые события (простые высказывания) их вероятностями;

подставить числовые значения вероятностей.