Свойства ортогонального проецирования

Наряду со свойствами параллельного (косоугольного) проецирования ортогональное проецирование имеет следующие свойства.

1. Отрезок прямой в общем случае равен гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет равен его проекции на данную плоскость проекции, а второй - разности расстоянии концов отрезка до этой плоскости (рис.1.5).

2. Любой отрезок прямой и плоская фигура, параллельные плоскости проекций, проецируются на эту плоскость без искажения (рис.1.6), например, если АВ  П ₁, то  A ₁ B ₁ =  AB ;  ABC  П ₁, то  A ₁ B ₁ C ₁ =  ABC.

Рис.1.6 Рис.1.7

3. Проекция любой фигуры (плоской фигуры, отрезка прямой и т.д.) не может быть больше самой фигуры (как следствие п. 1 и 2).

4. Ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны, т.е., если a  b, и a  П ₁, то a ₁  b ₁ (рис.1.7).
Пусть дано a  b. Построим проекцию a  b на П ₁. AA ₁  П ₁ (как проецирующий луч), следовательно, плоскость Г (AA ₁  b) также перпендикулярна П ₁. Прямая а перпендикулярна плоскости Г, так как она перпендикулярна двум прямым AA ₁ и b, принадлежащим плоскости Г. Но a ₁  a (a  П ₁) и, следовательно, a  Г, откуда A ₁ перпендикулярна любой прямой плоскости Г, в том числе и b ₁. Отсюда справедливо, что a ₁  b ₁.
Это доказательство относится как к пересекающимся прямым, так и к скрещивающимся. Как видно из чертежа, если с  Г, а Г , то c ₁  a ₁.