Метод проекций

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Основными видами проецирования являются центральное и параллельное. Центральное проецирование представляет собой общий случай проецирования геометрических образов из некоторого центра на плоскость.

Пусть задана плоскость П ₁ и кривая линия k с точками А, В, С (рис.1.1).

Рис.1.1

Возьмем некоторую точку S, не лежащую в плоскости П ₁. Через точку S и точки А, В, С кривой k проведем прямые до пересечения с плоскостью П ₁ в точках A ₁, B ₁, C ₁. Проведя таким образом через S и каждую точку кривой k прямые, получим в плоскости П ₁ изображение k ₁кривой k.

В соответствии с описанным построением введем следующие понятия:

S - центр проекций; П ₁ - плоскость проекций; кривая k с точками А, В, С - объект проецирования; SА, SВ, SС - проецирующие лучи; A ₁, B ₁, C ₁ - центральные проекции точек А, В, С; k ₁ - центральная проекция кривой k. Рассматривая каждую пространственную фигуру как совокупность точек, можно сказать, что проекция фигуры представляет собой множество проекций ее точек.

Свойства центрального проецирования:

1. Любая точка (кроме S) проецируется на плоскость проекций в единственную точку (рис.1).

2. Каждой точке (A, B, C, D,...), принадлежащей какой-либо линии (кривой или прямой), соответствует проекция (A ₁, B ₁, C ₁, D ₁,...) этой точки на проекции данной линии (рис.1).

3. Кривая в общем случае проецируется в кривую, а прямая - в прямую. Если прямая совпадает с проецирующим лучом, например DE (рис.1), то она проецируется в точку D ₁  E ₁. Плоскость, проходящая через центр проекций, проецируется в прямую и называется проецирующей. Кривая, все точки которой принадлежат проецирующей плоскости, проецируется в прямую.

4. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения проекций этих линий (рис.1).

Центральное проецирование обладает большой наглядностью и применяется в строительном черчении, в архитектуре, в живописи и т.п. Недостатком центрального проецирования является сложность построения изображения предмета и определения истинных размеров. Поэтому оно имеет ограниченное применение в техническом черчении.

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования с бесконечно удаленным центром проекций. Осуществляется оно пучком параллельных проецирующих лучей заданного направления. Пусть требуется построить параллельную проекцию кривой k на плоскость П ₁(рис.1.2).

Рис. 1.2 Рис.1.3

Спроецируем в направлении s все точки кривой k на плоскость П ₁. Чтобы спроецировать точки указанной кривой, например А, В, С, нужно провести через них прямые, параллельные направлению s, до пересечения с плоскостью П ₁. Точки пересечения A ₁, B ₁, C ₁ проецирующих лучей с плоскостью П ₁ и будут параллельными проекциями точек А, В и С. Таким образом можно построить проекции множества точек кривой k. В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости проекций П ₁ различают два вида параллельных проекций: косоугольную, когда проецирующие лучи не перпендикулярны к плоскости П ₁ (рис. 1.2, кривая k), и прямоугольную (или ортогональную), когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций (рис.1.2, прямая а). Несмотря на то, что параллельное проецирование по сравнению с центральным дает меньшую наглядность, параллельные проекции, особенно ортогональные, обладают удобоизмеримостью и простотой построения. Поэтому ортогональное проецирование широко распространено в технике и является основным методом начертательной геометрии.