Множества мощности континуума. Теорема Кантора

Получим матрицу, содержащую четное множество строк, в каждой из которых бесконечное число десятичных цифр. Допустим, что в матрице нет не одной пары равных между собой чисел. Все ли действительные числа окажутся в матрице? Нет, не все. Чтобы убедится в этом воспользуемся диагональным методом, разработанным Г. Кантором, и найдем число, которое соответствует матрице, т.е. оказалось незанумерованным. Суть метода Г. Кантора применительно к данному случаю состоит в следующем. Если в первом числе первая после запятой цифра (цифра ) не равна, например, 3, то в искомое число после запятой записываем цифру 3. Если же =3, то записываем, допустим 2. Переходя ко второму числу матрицы. Если , то записываем на втором месте искомого числа цифру 3. Если , то записываем число 2. Перейдя к третьему числу, записываем искомое число 3, если и т.д. Очевидно что получившееся число отсутствует в списке, так как оно отличается от первого числа после запятой цифрой, от второго числа отличается цифрой от третьего – третьей и т.д. Таким образом полученное число отсутствует в списке, но принадлежит множеству действительных чисел интервала .

Полученное число не является единственным отсутствующим в списке. Достаточно вместо цифры 3 и 2 взять какие-нибудь другие и мы получим еще одно число. Даже если найденные числа включит в общий список, то и в расширенном списке будут находится не занумерованные числа.

Так как мощность булеана В(Е) равна мощности множества всех действительных чисел интервала , то эти множества эквивалентны. Они являются несчетными и оба характеризуются кардинальным числом . Такие множества условно называют -множествами.

Мощность континуума – не самая большая мощность среди бесконечных множеств. Что бы убедится в этом воспользуемся двоичными числами, так же как и в случае с счетными множествами. Поставим в соответствие каждому элементу -множества двоичный разряд. Если единица в числе обозначает вхождение элемента в подмножество, а нуль – отсутствие элемента в данном подмножестве, то каждому двоичному числу будет соответствовать некоторое подмножество -множества. Мощность множества таких подмножеств обозначается буквой , очевидно, что

Откуда следует что мощность булеана -множества превышает мощность -множества .

Точно так же можно утверждать, что

То есть мощность -множества превышает мощность булеана -множества. Далее по аналогии получаем:

, , ,…, ,…

Откуда следует, что множества с наибольшей мощностью не существует.

В завершение подраздела приведем одну теорему о множествах мощности континуума: объединение множества мощности континуума и счетного множества имеет мощность континуума.