Логика высказываний

Высказывание — это некоторое утверждение в виде повествовательного предложения, по содержанию которого можно сказать, истинно оно или ложно. Примеры истинных высказываний: «Река Волга впадает в Каспийское море»; «Существуют чётные числа, делящиеся на 3»; «Луна — спутник Земли». Примеры ложных высказываний: «В Томске водятся кентавры»; «Варшава — столица

Японии»; «Всемирно известную сказку «Конёк-горбунок» написал один из десятиклассников 30-й школы г. Томска».

Существуют утверждения, которые меняли свою истинность по мере развития науки. Например: «Солнце вращается вокруг Земли». Это высказывание длительное время считалось истинным. Теперь же оно ложно.

Встречаются утверждения, относительно истинности которых невозможно сказать что-либо определённое ввиду отсутствия способов их доказательства или опровержения. Например: «Между людьми существует телепатическая связь». По мере развития науки это утверждение может стать либо истинным, либо ложным.

В некоторых случаях утверждения объявляются истинными без каких-либо объяснений и доказательств. Например: «На плоскости через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данной». Это утверждение Евклида. А Н.И. Лобачевский [28, c. 43; 49, c. 9—10] о том же утверждает совсем другое: «На плоскости через точку, лежащую вне прямой, можно провести сколько угодно прямых, не пересекающих данной». Во втором высказывании утверждается нечто, противоположное первому. Однако оба высказывания истинны! Возможно ли это? Да. Оба высказывания являются аксиомами, которые, как известно, принимаются истинными без доказательств.

Таким образом, утверждения могут быть истинными, ложными и не истинными и не ложными одновременно. Мы в дальнейшем будем рассматривать только такие утверждения, которые являются либо истинными, либо ложными. Для удобства высказывания условимся обозначать латинскими буквами. Например, можно считать, что A — это высказывание «Идёт дождь». Если оно является истинным, то пишут А = 1. Соответственно запись A = 0 обозначает: высказывание «Идёт дождь» ложно.

Всякая буква, обозначающая некоторое высказывание, — это переменная величина, принимающая одно из двух значений — либо 0, либо 1. Такую переменную называют двоичной.