Метод Гаусса — Зейделя

Является классическим итерационным методом решения системы линейныхуравнений.

Постановка задачи

Возьмём систему: , где

Или

И покажем, как её можно решить с использованием метода Гаусса-Зейделя.

Метод

Чтобы пояснить суть метода, перепишем задачу в виде:

Здесь в j -м уравнении мы перенесли в правую часть все члены, содержащие x_i, для i > j. Эта запись можетбыть представлена:

где в принятых обозначениях D означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующиеэлементы матрицы A, а все остальные нули; тогда как матрицы U и L содержат верхнюю и нижнюютреугольные части A, на главной диагонали которых нули.

Итерационный процесс в методе Гаусса-Зейделя строится по формуле после выбора соответствующего начальногоприближения .

Метод Гаусса-Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идеямодификации состоит в том, что новые значения используются здесь сразу же по мере получения, вто время как в методе Якоби они не используются до следующей итерации:

где

Таким образом i-тая компонента (k + 1)-го приближения вычисляется по формуле: