Продолжительность и число прогонов

Важным моментом планирования имитационного экспери­мента является определение соотношения между продолжи­тельностью прогона модели и числом повторных прогонов. Ис­пользование нескольких продолжительных прогонов предпочти­тельнее, чем использование множества коротких, так как в общем случае это дает лучшую оценку для среднего в условиях установившегося режима, поскольку меньшее число раз вносятся искажения переходного режима и отсекается меньше данных. Однако уменьшение числа наблюдений в связи с уменьшением числа повторных прогонов, с одной стороны, может увеличить оценку дисперсии среднего. Большое число коротких прогонов, с другой стороны, может внести искажения, вызываемые начальными условиями. Чем больше переходный период, тем важнее использовать более продолжительные прогоны с целью снижения влияния начальных условий.

Существует ряд методов задания продолжительности имитационного прогона. Наиболее часто, по-видимому, задается:момент времени завершения моделирования. Недостатком этого метода является то, что число наблюдений, будучи случайным, может быть различным в каждом из повторных прогонов. Метод, который позволяет управлять размером выборки, заключа­ется в задании определенного числа компонентов, поступающих на вход модели. В этом случае имитация продолжается до тех пор, пока заданное число компонентов не будет полностью обработано в модели. Таким образом, после окончания имитационного прогона система будет находиться в состоянии «пуст и свободен». Другим подходом, аналогичным данному, является задание числа компонентов, обрабатываемых в системе. При этом имитационный прогон может завершиться, когда система находится в любом, отличном от пустого состоянии. Используя такой подход, необходимо всегда обеспечивать, чтобы компоненты, оставшиеся необработанными, были типичными представителями выборки. Например, этот метод непригоден, когда в модели системы используется правило распределения работ по минимуму времени их выполнения, и, следовательно, к концу имитации в очереди могут накопиться работы, для выполнения каждой из которых требуется много времени.

Еще одним подходом к управлению продолжительностью имитационного прогона является применение правил автоматической остановки, которые позволяют автоматически отслеживать результаты моделирования через заданные интервалы времени в процессе имитации. Имитация прекращается, когда оценка дисперсии среднего становится меньше заданной величины..

Если мы оцениваем дисперсию выходной переменной X с помощью повторных прогонов и если предполагаем, что X нормально распределена (если X является выборочным средним, это вполне справедливо), то число независимых повторных прогонов, которое необходимо осуществлять для достижения заданного доверительного интервала для X, будет равно

,

где — величина, взятая из таблицы критических значений t-статистики с I-1 степенями свободы; g — половина длины заданного доверительного интервала.

К сожалению, применение этой формулы требует информации о t-статистике с I-1 степенями свободы и S_X. Обычно устанавливают значение I, проводят I повторных прогонов имитационной модели, на основе проведенных прогонов вычисляют значения t и s_x, а затем применяют приведенную выше формулу для проверки достаточности начальных предположений или для определения необходимого числа дополнительных прогонов.

В данной главе изложены основы теории вероятностей и математической статистики, знание которых необходимо при проведении имитационного анализа. При этом дается широкий обзор вероятностных и статистических положений, имеющих отношение к имитационному моделированию, без подробного изложения каждого из них. Представленный материал вполне достаточен для понимания цели имитационного моделирования и экспериментальной природы имитационного анализа. Он также дает возможность читателю перейти далее к изучению более тонких аспектов статистического анализа в имитационном моделировании.

Контрольные вопросы и задания

1. На основе 30 имитационных прогонов о времени пребывания посетителя в системе вычислить оценки для выборочного среднего и дисперсии времени пребывания. Построить гистограмму, содержащую 10 равных интервалов (длину интервала вычислить).

Значения прогонов о времени пребывания:

3,4	5,6	6,8	1,2	7,8	3,8	4,3	5,7	4,4	6,1

4,3	1,6	6,4	1,2	7,8	3,9	5,3	6,7	7,4	3,1

4,4	5,6	6,9	1,8	6,8	5,8	4,9	5,8	4,9	5,6

2. Показать, что сумма двух независимых пуассоновских величин с математическим ожиданием m1 и m2 является также пуассоновской величиной с математическим ожиданием, равным m1 + m2.

3. Как распределена сумма двух независимых, нормально распределенных случайных величин?

4. Багдадский вор заключен в подземелье с тремя дверьми. Одна дверь ведет на свободу, другая в длинный туннель, а третья – в короткий. Попав в один из туннелей, вор снова оказывается в темнице. Каждый раз после этого он опять пытается выйти на свободу, но при этом не помнит, в какую дверь он входил в прошлый раз. Вероятность того, что вор выберет дверь, ведущую на свободу, равна 0,3; вероятность выбора двери в короткий туннель равна 0,2; вероятность выбора двери в длинный

туннель равна 0,5. Пусть время пребывания вора в коротком и длинном туннелях равна, соответственно 10 и 7 единицам времени. Определите среднее время, которое затратит вор на поиск пути на свободу.

5. На рис. 2.7 показано изменение числа посетителей в очереди в течение 20 минут. Вычислить среднее и среднеквадратичное отклонение числа ожидающих в очереди посетителей.

Число посетителей

Время

Рис. 2.7. Изменение числа посетителей в очереди

6. Применить мультипликативный конгруэнтный метод для генерации последовательности из 20 псевдослучайных чисел с с=256, а=13, b=0, z0 = 51.

7. Использовать метод обратной функции для преобразования псевдослучайных чисел, полученных в упражнении 6, в случайную выборку из непрерывного распределения со следующей функцией плотности вероятности:

ì 6x3/3, если 0<=x<=2

ô

f (x) = í

÷

î 0, в противном случае.

8. Использовать метод обратной функции для преобразования случайных чисел из упражнения 6 в выборку из дискретного распределения со следующей функцией вероятности:

P(0)=0,2; P(1)=0,2; P(2)=0,4; P(3)=0,2.