Свойства монотонных функций

· Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.

· Монотонная функция, определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.

· Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.

· Монотонная функция дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

Связь характера монотонности функции и ее производной:

· если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна;

· если функция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна.

При исследовании функции на монотонность берут только открытые промежутки, т.е. интервалы или открытые лучи. Дело в том, что для функции, определенной на отрезке [а, Ь], не очень корректно ставить вопрос о существовании и о значении производной в концевой точке (в точке х= а или в точке х= Ъ), поскольку в точке х = а приращение аргумента может быть только положительным, а в точке х = Ъ — только отрицательным. В определении производной такие ограничения не предусмотрены.

Теорема1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’≥0, то функция y=f возрастает на всем промежутке Х.
Теорема2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f≤0, то функция y=f убываеи на всем промежутке Х.
Теорема3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполнчяется равенство f=0, то функция y=f постоянна на промежутке Х.