Матрица,примеры и операции над матрицей

МАТРИЦА [matrix] — система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы. Таблица имеет следующий вид:

Элемент матрицы в общем виде обозначается a_ij; это показывает, что мы имеем число, расположенное на пересечении i -й строки и j -го столбца (разумеется, i и j можно заменить любой другой буквой, но такое обозначение — наиболее распространенное). Соответственно, матрица A может обозначаться [ a_ij ].

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых

отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a _{i i} диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Операции над матрицей.
Произведением матрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число l: l A = (l a _{i j}).

Суммой двух матриц А = (a _{i j}) и B = (b _{i j}) одного размера называется матрица C = (c _{i j}) того же размера, элементы которой определяются по формуле c _{i j} = a _{i j} + b _{i j}.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц А = (a _{i j}) и B = (b _{j k}), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c _{i k}), элементы которой определяются по следующему правилу:

c _{i k} = a _{i 1} b _{1 k} + a _{i 2} b _{2 k} +... + a _{i m} b _{m k} = a _{i s} b _{s k}. (4.2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Пример 2.1. Найти произведение матриц и .

Решение. Имеем: матрица А размера 2´3, матрица В размера 3´3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны
с ₁₁ = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с ₂₁ = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с ₁₂ = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с ₂₂ =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с ₁₃ = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с ₂₃ = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

, а произведение BA не существует.

2. Алгебра матриц (сложение, умножение на число, умножение матриц,
линейная комбинация, транспонирование)