Прямая на плоскости и различные формы ее представления

I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Декартовы координаты на плоскости. Операции над векторами.

У нас есть две прямые x и y, которые пересекаются в точке O. Эти прямые называются осями координат. Ось x называется осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Точка пересечения осей называется началом координат. Каждая ось разбивает плоскость на две полуплоскости, одна из них положительная, другая отрицательная.

Будем обозначать плоскость Oxy (O - точка пересечения оси x с осью y).

Два определения скалярного произведения.

Скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является число, не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Прямая на плоскости и различные формы ее представления.

Линия на плоскости является прямой тогда и только тогда, когда она является алгебраической линией первого порядка.

Доказательство. Необходимость. Пусть l - прямая на плоскости, проходящая через точку M0 и параллельная ненулевому вектору а. Пусть Oxy - произвольная аффинная система координат и а = {m, n}, М0(x0, y0). Тогда прямая l описывается каноническим уравнением или, что то же самое, уравнением n(x - x0) - m(y - y0) = 0, которое, если положить А = n, B = -m, C = -n x0 + my0, может быть записано в виде

Ax + By + C = 0

Так как вектор а = {m, n} ≠ 0, то по крайней мере один из коэффициентов А или В отличен от нуля. Поэтому левая часть уравнения представляет собой алгебраический многочлен первой степени. Следовательно, любая прямая на плоскости является алгебраической линией первого порядка.

Достаточность. Пусть в аффинной системе координат Oxy линия l определяется уравнением Это уравнение имеет частное решение

, ибо Ax0 + By0 + C ≠0

Вычитая последнее равенство из (5.2.6), получим, что А(x - x0) + В(y - y0) = 0 или, что то же самое

В силу теоремы это уравнение определяет прямую, проходящую через точку М0(x0, y0), с направляющим вектором а = {-В, А}. Теорема доказана.

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости. Вектор n = {A, B} называется вектором нормали к прямой относительно уравнения

Общее уравнение прямой называется полным, если все коэффициенты А, В, С отличны от нуля.

Уравнения прямой:

• C = 0, А ≠ 0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох