Линейные преобразования

Линейное преобразование на плоскости – это такое точечное отображение плоскости в себя, при котором любая прямая переходит в прямую. Произвольная точка с координатами (X,Y) в результате линейного преобразования переходит в свой образ - в точку с ко­ординатами (X1,Y1) согласно формулам

X1 = A´X+B´Y+C, Y1 = D´X+E´Y+F,

где A,B,C,D,E,F – числа, коэффициенты данного преобразова­ния, однозначно его определяющие.

Последовательное выполнение двух линейных преобразований всегда эквивалентно некоторому третьему линейному преобразова­нию, которое называется их произведением. Это свойство позволяет говорить о результирующемпреобразовании, эквивалентном некото­рой последовательности преобразований.

Eсли перейти к однородным координатам точки (см., например, [11], [12]), то формулы линейного преобразования можно записать в матричном виде:

Tогда последовательное применение двух преобразований выгля­дит следующим образом:

(X2,Y2,1) = (X1,Y1,1) × M2 = (X,Y,1) × M1 × M2 = (X,Y,1) × M,

где M = M1 × M2 – матрица результирующего преобразования. B общем случае операция умножения матриц некоммутативна. A значит, и два последовательно выполняемых линейных преобразования также, вооб­ще говоря, некоммутативны.

Eсли значение определителя матрицы M отлично от нуля, то пре­образование называется аффинным. B отличие от обшего линейного преобразования при аффинном преобразовании плоскость не может вырождаться в линию или точку.Aффинное преобразование переводит параллельные прямые в параллельные и всегда имеет обратное пре­образование. B подавляющем большинстве случаев на практике мы имеем дело именно с аффинными преобразованиями. Любоелинейное (или аффинное) преобразование может быть представлено как супер­позиция основных преобразований, к которым относятся преобразо­вания переноса, поворота и масштабирования.