Плоская линия и ее уравнение. Поверхность и ее уравнение. Уравнение линии в пространстве. Поверхность вращения

С теоретико-множественной точки зрения, любая линия или поверхность есть множество точек. Каждое такое множество может обладать некоторыми свойствами. Математики с древних времен пытались отыскать такие свойства, которые полностью определяли бы такие интуитивно понятные объекты как прямая, кривая, поверхность. Эта задача была окончательно решена лишь в двадцатом веке, когда было введено понятие размерности множества.

Второй подход при изучении линий и поверхностей заключается в том, что изначально мы имеем некоторую линию или поверхность, которая задаются каким либо своим геометрическим свойством. Очень часто линия или поверхность определяется как множество точек координатной плоскости или координатного пространства, удовлетворяющих каким-либо условиям. Такое множество точек называется геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ). Задача заключается в том, чтобы описать это ГМТ с помощью уравнения или системы уравнений с параметром или без такового.

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt. (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [ n ₁, n ₂], где n ₁(A₁, B₁, C₁) и n ₂(A₂, B₂, C₂) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x₁, y = y₁; прямая параллельна оси Oz.

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Нормальное уравнение прямой.

Общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0,

где А и В не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой (т.е. вектора, перпендикулярного прямой). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ, при В = 0 прямая параллельна оси ОY.

При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Уравнение прямой, проходящей через точку (х ₀ , у ₀) и не параллельной оси OY, имеет вид:

у – у ₀ = m (x – х ₀),

где m – угловой коэффициент, равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х ₁, у ₁) и (х ₂, у ₂ ):