Скалярное произведение векторов и его свойства

Основные свойства скалярного произведения векторов:
1. a •b = b• a;
2. (λa)•b= •(λb) = λ (a•b);
3. a•(b+с) = a•b+a•с;
4. a • a = | a |²;
5. a • b = 0, если a ┴ b.

10 Векторное произведение векторов и обозначается символом :

(25)

или

(26)

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

3) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью. Иными словами, порядок векторов имеет значение.

4) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы беспроблемно выносятся за пределы векторного произведения.

5) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения.

Векторное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой:

Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

векторы компланарны.

· Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

· Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком «минус»:

В частности,

· Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.

· Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

· Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле