О равенстве математических ожиданий

Случай 1. Дисперсии распределений известны. Исходные данные: две выборки, объема N1 из генеральной совокупности

X1 и объема N2 из генеральной совокупности X2; ; уровень значимости .

Гипотеза ; конкурирующая гипотеза . , , где — выборочное среднее случайной величины , i = 1, 2. Гипотеза принимается, если выполняется неравенство | | .

Гипотеза ; конкурирующая гипотеза . ; .

Гипотеза принимается, если выполняется неравенство .

Гипотеза ; конкурирующая гипотеза . ; .

Гипотеза принимается, если выполняется неравенство .

Случай 2. Дисперсии распределений неизвестны, но равны между собой. Исходные данные: две выборки, объема N1 из генеральной совокупности X1 и объема N2 из генеральной совокупности X2; уровень значимости .

Гипотеза ; конкурирующая гипотеза . ; .

Гипотеза принимается, если выполняется неравенство | | .

Гипотеза ; конкурирующая гипотеза . ; (v).

Гипотеза принимается, если выполняется неравенство .

Гипотеза ; конкурирующая гипотеза . ; .

Гипотеза принимается, если выполняется неравенство .

Вопрос 49. Непараметрические гипотезы: о независимости элементов выборки. Критерий серий.

Проверяется гипотеза о случайности и независимости элементов выборки. Исходные данные: выборка x1, x2,…, xN объема N; уровень значимости . Гипотеза : элементы выборки x1, x2,…, xN являются независимыми; конкурирующая гипотеза : элементы выборки x1, x2,…, xN не являются независимыми.

Выполняется следующая последовательность действий. 1. Формируется вариационный ряд: .

2. Находится оценка медианы. , если N нечетно, , если N четно. 3. В исходной выборке вместо каждого ставится "+", если , "-", если . Если, , то знак не ставится. Вычисляются: количество серий v и длина самой длинной серии r. (Под серией понимается последовательность подряд идущих "+" или "-"). Одновременно рассматривают пару критических статистик. ; ;

; .

Гипотеза принимается, если одновременно выполняются условия: , .

Вопрос 50. Непараметрические гипотезы: о независимости двух случайных величин. Таблица сопряженности.

Пусть результаты эксперимента классифицируются по двум признакам. Требуется проверить гипотезу о независимости признаков. Пусть различаются r значений первого признака и s значений второго признака. Обозначим через общее количество таких случаев, когда первая величина принимает значение с номером i, а вторая — с номером j, . , Выборочное значение статистики .

Критическое значение статистики .

Гипотеза принимается, если выполняется неравенство .

Вопрос 51. Непараметрические гипотезы: об однородности двух выборок. Критерий .

Проверяется гипотеза о том, что две выборки принадлежат одной генеральной совокупности. Данные должны быть представлены в виде интервального статистического ряда.

Исходные данные: две выборки, объема N1 из генеральной совокупности X1 и объема N2 из генеральной совокупности X2; k— количество интервалов группировки (одинаковое для обеих выборок); и — количество попаданий в i-й интервал группирования соответственно первой и второй выборок, i = 1, 2,…, k; уровень значимости .

Гипотеза ; конкурирующая гипотеза ( — функция распределения i-й выборки, i=1,2). ; . Если объемы выборок совпадают: = = N, то . Гипотеза принимается, если выполняется условие .

Вопрос 52. Критерий согласия Колмогорова.

Проверяется гипотеза о том, что непрерывная случайная величина X распределена по закону, имеющему заданную функцию распределения F0(x), причем известны не только вид функции F(x), но и все ее параметры.

Исходные данные: выборка x1, x2,…, xN наблюдений случайной величины X объема N; гипотетическая функция распределения F0(x); уровень значимости .

Гипотеза ; конкурирующая гипотеза . Проверка гипотезы производится по следующей схеме. 1. По выборке x1, x2,…, xN находится эмпирическая функция распределения . 2. Вычисляется выборочное значение статистики критерия . 3. Находится критическое значение cтатистики

, где — квантиль распределения Колмогорова уровня 1- (находится из таблиц распределения Колмогорова). 4. Гипотеза принимается на уровне значимости , если .

Вопрос 53. Критерий согласия (Пирсона).

Проверяется гипотеза о том, что случайная величина X распределена по закону, имеющему заданную функцию распределения F0(x). Один или несколько параметров закона распределения F0(x) могут быть неизвестны.

Исходные данные: выборка x1, x2,…, xN наблюдений случайной величины X объема N; гипотетическая функция распределения F0(x); уровень значимости .

Гипотеза ; конкурирующая гипотеза . Проверка гипотезы производится по следующей схеме. 1. Находятся оценки неизвестных параметров предполагаемого закона распределения F0(x). 2. Если X — дискретная случайная величина, определяются частоты , i = 1, 2,…,r, с которыми каждое значение встречается в выборке. Если X —

непрерывная случайная величина, то область ее значений разбивается на r непересекающихся интервалов и определяется число элементов выборки , принадлежащее каждому интервалу. В обоих случаях . 3. В случае, если X — дискретная случайная величина, используя предполагаемый закон распределения, вычисляются вероятности ,

i = 1, 2,…,r, с которыми случайная величина X принимает каждое свое значение. В случае, если X — непрерывная случайная величина, по гипотетической функции распределения F0(x) определяются вероятности попадания в каждый интервал . В обоих случаях должно выполняться соотношение . Чтобы обеспечить это равенство для распределений, принимающих значения в бесконечном интервале, соответствующие крайние интервалы расширяются

до бесконечных. Для всех интервалов должно выполняться неравенство . Если для какого-либо интервала это условие не выполняется, его следует объединить с одним из соседних интервалов. 4. Вычисляется выборочное значение статистики критерия . 5. Находится критическое значение статистики ,

где — квантиль распределения хи-квадрат уровня с степенями свободы; l — число тех параметров распределения F(x), которые оцениваются по выборке. 6. Гипотеза принимается на уровне значимости , если .