![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Символы о и О (асимпоты):
Эта последняя величина точно не определена, однако, какой бы она ни была, обозначение «О» позволяет утверждать, что она не превосходит константу, умноженную на 1/n.
Величину О(1/n) можно считать пренебрежимо малой, если только нас не интересуют величины, отличающиеся от 1/n лишь постоянным множителем.
18. Сформулировать свойства функций непрерывных на отрезке: теорема о нуле непрерывной функции; теорема Коши о промежуточных значениях; теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции; теорема о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной на отрезке функции.
Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие -
.
Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок
на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке
, то образуется некоторая окрестность точки
.
Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Т.е. существуют такие значения и
, что
, причем
.
Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например - ).
Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.
Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.
Свойство 4: Если функция непрерывна в точке
, то существует некоторая окрестность точки
, в которой функция сохраняет знак.
Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция - непрерывная на отрезке
и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где
.
Т.е. если , то
.
Определение. Функция называется равномерно непрерывной на отрезке
, если для любого
существует
такое, что для любых точек
и
таких, что
верно неравенство
.
Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое , не зависящее от
, а при “обычной” непрерывности
зависит от
и
.
Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918) - немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)
Свойство 7: Если функция определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция
тоже однозначна, монотонна и непрерывна.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.
в точке
функция непрерывна в точке
точка разрыва 1 - го рода
![]() |
Рисунок 1.3.7.1. Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Только на одном из отрезков – [ a 3; b 3] – имеется нуль функции, так как на этом отрезке функция непрерывна и принимает значения разных знаков на концах |
Теорема Коши. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [ a; b ] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.
Теорема о промежуточных значениях. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и f (a) ≠ f (b), то для каждого значения y, заключенного между f (a) и f (b), найдется точка (и возможно, не одна) такая, что f (x) = y.
Теорема Вейерштрасса. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.
Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого
справедливо неравенство
.
Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого
справедливо неравенство
.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 620 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!