Геометрическое определение эллипса. Вывести каноническое уравнение эллипса. Исследование формы эллипса. Вершины эллипса. Эксцентриситет эллипса и его смысл. Директрисы эллипса

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами и есть величина постоянная (ее обозначают через 2*а). Причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.

Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как показано на рисунке 1, а фокусы эллипса находятся на оси на равных расстояниях от начала координат в точках то получится простейшее (каноническое) уравнение эллипса:

Здесь - большая, - малая полуоси эллипса, причем и ( - половина расстояния между фокусами) связаны соотношением

Форма эллипса (мера его "сжатия") характеризуется его эксцентриситетом.

(так как , то )

Прямые: и перпендикулярные главной оси и проходящие на расстоянии от центра, называются директрисами эллипса.

П.I.1. Расположение эллипса и его параметры

; - центр.

1)	2)

П.I.2. Эксцентриситет.

1. ; - эксцентриситет.

2. ; - эксцентриситет.

П.I.3. Уравнения директрис.

1.

2.

Геометрическое определение гиперболы. Вывести каноническое уравнение гиперболы. Исследование формы гиперболы. Вершины гиперболы. Эксцентриситет гиперболы и его смысл. Директрисы гиперболы.

Определение: гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через ), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами .

Если поместить фокусы гиперболы в точках и , то получится каноническое уравнение гиперболы где .

Точки: и называются вершинами гиперболы. Отрезок такой, что , называется действительной осью гиперболы, а отрезок такой, что - мнимой осью.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.

Уравнение также является уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси длины .

Две гиперболы и имеют одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты, но действительная ось одной служит мнимой осью другой, и наоборот. Такие две гиперболы называются сопряженными.

Прямые и , перпендикулярные действительной оси и проходящие на расстоянии от центра, называются директрисами гиперболы.