Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Уравнение касательной и нормали к кривой



Пусть функция у=ƒ(х) определена на некотором интервале (a;b). Проделаем следующие операции:

- аргументу х є (α; b) дадим приращение ∆х: х+∆х є (a; b);

- найдем соответствующее приращение функции: ∆у=ƒ(х+∆х)—ƒ(х);

- составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ∆у/∆х;

- найдем предел этого отношения при ∆х→0:

Если этот предел существует, то его называют производной функции ƒ(х) и обозначают одним из символов f'x, ƒ'(х); у'; у'х;.dy/dx

Производной функции у=ƒ(х) β точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

Производная функции ƒ(х) есть некоторая функция f'(x), произведённая из данной функции.

Функция у=ƒ(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у=ƒ(х) в точке х=х0 обозначается одним из символов: ƒ'(х0), у'|x=xo или у'(х0).

<< Пример 20.1

Найти производную функции у=С, С=const.

Решение:

- Значению х даем приращение ∆х;
- находим приращение функции ∆у: ∆у=ƒ(х+∆х)-ƒ(х)=С-С= 0;
- значит, ∆(y)/ ∆(x)=0/∆(x)=0;
- следовательно,

<< Пример 20.2

Найти производную функции у=х2.

Решение:

- Аргументу х даем приращение ∆х;
- находим ∆у: ∆у=(х+∆х)2—х2=2х•∆х+(∆х)2;
- составляем отношение

- находим предел этого отношения:

Таким образом, (х2)'=2х.

В задаче про скорость прямолинейного движения было получено

Это равенство перепишем в виде V=S't, т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t. В этом заключается механический смысл производной.

Обобщая, можна сказать, что если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная у' есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной

Это равенство перепишем в виде

ƒ'(х) = tga = k,

т. е. производная ƒ'(х) β точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = ƒ(х) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.

Если точка касания М имеет координаты (х0;y0) (см. рис. 130), то угловой коэффициент касательной есть k=ƒ'(х0). Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (у-yо—k(x—х0)), можно записать уравнение касательной: у—у0=ƒ'(х0)•(х-х0).

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

Поэтому уравнение нормали имеет вид

у—у0=





Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 1427 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...