![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Дадим сначала общее определение касательной к кривой.
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1 (см. рис. 128).
Прямую ММ1, проходящую через эти точки, называют секущей.
Пусть точка М1, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ.
Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей ММ1, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М1 неограниченно приближается по кривой к точке М1.
Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у=ƒ(х), имеющий в точке М(х; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k=tga, где a— угол касательной с осью Ох.
Для этого проведем через точку М и точку М1 графика с абсциссой х+∆х секущую (см. рис. 129). Обозначим через φ — угол между секущей ММ1 и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен
При ∆х→0 в силу непрерывности функции приращение ∆у тоже стремится к нулю; поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1, поворачиваясь около точки М, переходите касательную. Угол φ→α, т. е.
Следовательно,
Поэтому угловой коэффициент касательной равен
К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят.решения и множества других задач. Можно показать, что:
- если Q=Q(t) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна
- если N=N(t) — количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна
- если m=m(x) — масса неоднородного стержня между точками О(0;0) и М(х;0), то линейная плотность стержня в точке х есть
Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:
(читается «V равно S штрих по t», «тангенс α равен у штрих по х» и т. д.).
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 830 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!